Um objeto foi lançado verticalmente para cima em um lugar onde o piso é horizontal. No exato momento em que foi lançado, esse objeto estava a 3,5 m do piso. Três segundos após o lançamento, o objeto atingiu a altura de 8 m e, nesse momento, começou a cair, também em trajetória vertical, até tocar o piso.
Se a altura do objeto relaciona-se com o tempo contado a partir do lançamento através de uma função polinomial de 2º grau, então o tempo transcorrido na queda foi
(A) 3 segundos.
(B) 4 segundos.
(C) 5 segundos.
(D) 6 segundos.
(E) 7 segundos.
Como que resolve por matemática mesmo, não por física? Eu tentei usar a fórmula canônica mas não consegui. Alguém pode me ajudar, por favor?
Resposta: 4 segundos
Pré-Vestibular ⇒ (Souza Marques - 2017) Função do Segundo Grau Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2017
21
10:33
(Souza Marques - 2017) Função do Segundo Grau
Última edição: ALDRIN (Qua 21 Jun, 2017 10:59). Total de 1 vez.
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Abr 2020
21
21:45
Re: (Souza Marques - 2017) Função do Segundo Grau
Olá, Marinamsl.
Temos que a altura máxima que objeto atinge é dada por [tex3]y = 8.[/tex3] Além disso, para [tex3]t =0,[/tex3] a altura do objeto é de [tex3]3,5 \text{ m}.[/tex3] Esse será o parâmetro [tex3]\text c[/tex3] da função quadrática. Podemos fazer que:
Agora, se [tex3]t=3 \implies y = 8,[/tex3] ou seja:
Da equação para o vértice, sabemos que:
Com isso, obtemos que:
Assim:
Agora, estamos com a expressão completa, dada por:
Disso, observe que as raízes demonstram os tempos nos quais o objeto toca o solo. Como a parte negativa do movimento na importa, utilizamos apenas a raiz positiva. Desse modo, o tempo na subida foi de [tex3]3 \text { s}[/tex3] , o tempo na queda foi de [tex3]4 \text { s}[/tex3] e o tempo total do movimento foi de [tex3]7 \text { s}.[/tex3]
[1]. Existe uma expressão quadrática em função das coordenadas do vértice:
Disso, ficaríamos com a expressão:
Assim, vem que:
Temos que a altura máxima que objeto atinge é dada por [tex3]y = 8.[/tex3] Além disso, para [tex3]t =0,[/tex3] a altura do objeto é de [tex3]3,5 \text{ m}.[/tex3] Esse será o parâmetro [tex3]\text c[/tex3] da função quadrática. Podemos fazer que:
[tex3]y = \text a t^2 + \text bt + 3,5[/tex3]
Agora, se [tex3]t=3 \implies y = 8,[/tex3] ou seja:
[tex3]8 = 9\text a + 3 \text b + 3,5 \implies 4,5 = 9 \text a + 3 \text b [/tex3]
Da equação para o vértice, sabemos que:
[tex3]x_\text v = 3 = \frac{-\text b}{2\text a}[/tex3]
Com isso, obtemos que:
[tex3]4,5 = 9 \text a + 3 \cdot \( -6 \text a \) \implies \text a = -\frac{1}{2} [/tex3]
Assim:
[tex3]3 = \frac{-\text b}{2 \cdot -\frac{1}{2}} \implies \text b= 3[/tex3]
Agora, estamos com a expressão completa, dada por:
[tex3]y = -\frac{1}{2} t^2 + 3 t + 3,5 \implies \begin{cases}\xcancel{ t = -1 \text { s}} \\ t= 7 \text { s} \end{cases}[/tex3]
Disso, observe que as raízes demonstram os tempos nos quais o objeto toca o solo. Como a parte negativa do movimento na importa, utilizamos apenas a raiz positiva. Desse modo, o tempo na subida foi de [tex3]3 \text { s}[/tex3] , o tempo na queda foi de [tex3]4 \text { s}[/tex3] e o tempo total do movimento foi de [tex3]7 \text { s}.[/tex3]
[1]. Existe uma expressão quadrática em função das coordenadas do vértice:
[tex3]f(x) = \text a \cdot \( x - x_\text v\)^2 + y_{\text v}[/tex3]
Disso, ficaríamos com a expressão:
[tex3]\begin{align}f(x) &= \text a \cdot \( x - 3\)^2 + 8, \\ \\ f(0) &=3,5 \\ \\ 3,5 &= \text a \cdot \( 0 - 3\)^2 + 8 \\ \\ \text a &= -\frac{1}{2}
\end{align}[/tex3]
\end{align}[/tex3]
Assim, vem que:
[tex3]\begin{align}f(x) &= -\frac{1}{2} \cdot \( x - 3\)^2 + 8
\\ \\
&= -\frac{1}{2}x^2 + 3x + 3,5
\end{align}[/tex3]
\\ \\
&= -\frac{1}{2}x^2 + 3x + 3,5
\end{align}[/tex3]
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