Pré-Vestibular(Souza Marques - 2017) Função do Segundo Grau Tópico resolvido

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Marinamsl
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Jun 2017 21 10:33

(Souza Marques - 2017) Função do Segundo Grau

Mensagem não lida por Marinamsl »

Um objeto foi lançado verticalmente para cima em um lugar onde o piso é horizontal. No exato momento em que foi lançado, esse objeto estava a 3,5 m do piso. Três segundos após o lançamento, o objeto atingiu a altura de 8 m e, nesse momento, começou a cair, também em trajetória vertical, até tocar o piso.
Se a altura do objeto relaciona-se com o tempo contado a partir do lançamento através de uma função polinomial de 2º grau, então o tempo transcorrido na queda foi

(A) 3 segundos.
(B) 4 segundos.
(C) 5 segundos.
(D) 6 segundos.
(E) 7 segundos.

Como que resolve por matemática mesmo, não por física? Eu tentei usar a fórmula canônica mas não consegui. Alguém pode me ajudar, por favor?
Resposta: 4 segundos

Última edição: ALDRIN (Qua 21 Jun, 2017 10:59). Total de 1 vez.
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Planck
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Re: (Souza Marques - 2017) Função do Segundo Grau

Mensagem não lida por Planck »

Olá, Marinamsl.

Temos que a altura máxima que objeto atinge é dada por [tex3]y = 8.[/tex3] Além disso, para [tex3]t =0,[/tex3] a altura do objeto é de [tex3]3,5 \text{ m}.[/tex3] Esse será o parâmetro [tex3]\text c[/tex3] da função quadrática. Podemos fazer que:

[tex3]y = \text a t^2 + \text bt + 3,5[/tex3]

Agora, se [tex3]t=3 \implies y = 8,[/tex3] ou seja:

[tex3]8 = 9\text a + 3 \text b + 3,5 \implies 4,5 = 9 \text a + 3 \text b [/tex3]

Da equação para o vértice, sabemos que:

[tex3]x_\text v = 3 = \frac{-\text b}{2\text a}[/tex3]

Com isso, obtemos que:

[tex3]4,5 = 9 \text a + 3 \cdot \( -6 \text a \) \implies \text a = -\frac{1}{2} [/tex3]

Assim:

[tex3]3 = \frac{-\text b}{2 \cdot -\frac{1}{2}} \implies \text b= 3[/tex3]

Agora, estamos com a expressão completa, dada por:

[tex3]y = -\frac{1}{2} t^2 + 3 t + 3,5 \implies \begin{cases}\xcancel{ t = -1 \text { s}} \\ t= 7 \text { s} \end{cases}[/tex3]

Disso, observe que as raízes demonstram os tempos nos quais o objeto toca o solo. Como a parte negativa do movimento na importa, utilizamos apenas a raiz positiva. Desse modo, o tempo na subida foi de [tex3]3 \text { s}[/tex3] , o tempo na queda foi de [tex3]4 \text { s}[/tex3] e o tempo total do movimento foi de [tex3]7 \text { s}.[/tex3]


[1]. Existe uma expressão quadrática em função das coordenadas do vértice:

[tex3]f(x) = \text a \cdot \( x - x_\text v\)^2 + y_{\text v}[/tex3]

Disso, ficaríamos com a expressão:

[tex3]\begin{align}f(x) &= \text a \cdot \( x - 3\)^2 + 8, \\ \\ f(0) &=3,5 \\ \\ 3,5 &= \text a \cdot \( 0 - 3\)^2 + 8 \\ \\ \text a &= -\frac{1}{2}

\end{align}[/tex3]

Assim, vem que:

[tex3]\begin{align}f(x) &= -\frac{1}{2} \cdot \( x - 3\)^2 + 8
\\ \\
&= -\frac{1}{2}x^2 + 3x + 3,5
\end{align}[/tex3]




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