Pré-Vestibular ⇒ (Fuvest) Análise Combinatória

[Liliana]

Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos?
a) 12 d) 72
b) 18 e) 108
c) 36

Alguém pode me explicar essa questão, fazendo um favor??
Eu tentei dessa forma:
Se são 3 empresas, e 4 trabalhos distintos, então considerando que
1) o trabalho 4 não tem empresa fixa, então, os 4 trabalhos podem ser distribuídos como 3*2*1*(3) <- por que qualquer uma das 3 podem pegar esse trabalho = 18
2) o trabalho 3 não tem empresa fixa, então 3*2*(3)*1 = 18
3) o trabalho 2 não tem empresa fixa, então 3*(3)*2*1 = 18
4) o trabalho 1 não tem empresa fixa, então (3)*3*2*1 = 18
TOTAL= 4*18= 72
Alguém pode me falar por que está errado dessa forma??

[Marcos]

Olá Liliana.Observe a solução:

Como todas as três empresas devem ser contratadas, uma delas receberá [tex3]2[/tex3]

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[tex3]2[/tex3]

trabalhos.Há [tex3]\left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)[/tex3]

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[tex3]\left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)[/tex3]

maneiras de escolher tal empresa e [tex3]\left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right)[/tex3]

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[tex3]\left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right)[/tex3]

maneiras de escolher quais serão seus [tex3]2[/tex3]

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[tex3]2[/tex3]

trabalhos.Finalmente, temos [tex3]2![/tex3]

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[tex3]2![/tex3]

maneiras de distribuir os trabalhos restantes.Portanto, pelo Princípio Fundamental da Contagem, os trabalhos podem ser atribuídos de [tex3]\left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right).\left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right).2!=3.\frac{4.3}{2}.2=\boxed{\boxed{36}}\Longrightarrow Letra:(C)[/tex3]

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[tex3]\left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right).\left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right).2!=3.\frac{4.3}{2}.2=\boxed{\boxed{36}}\Longrightarrow Letra:(C)[/tex3]

.

Resposta: [tex3]C[/tex3]

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[tex3]C[/tex3]

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[paulo testoni]

Hola.

Só acrescentando algo a mais:

Considere as empresas como E1, E2 e E3, os trabalhos como T1, T2, T3, T4. Cada um dos trabalhos será associado a uma das empresas. Logo, em princípio, haveria (4).(3) = 12 distribuições possíveis. Mas perceba que uma das empresas receberá dois trabalhos. Como cada uma das três possuem a mesma possibilidade, há no total 3.(12) = 36 formas distintas de distribuir os trabalhos.