Pré-Vestibular ⇒ (PUCC) Logaritmo/Potenciação Tópico resolvido

[FelipeMP]

(PUCC) O sistema [tex3]\begin{cases}
log_2\left(\frac{x^2}{y}\right) + log_2\left(\frac{y^2}{x}\right)=1 \\
log_{10}(x^2+y^2)=-\frac{log_25}{log_210}
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
log_2\left(\frac{x^2}{y}\right) + log_2\left(\frac{y^2}{x}\right)=1 \\
log_{10}(x^2+y^2)=-\frac{log_25}{log_210}
\end{cases}[/tex3]

a) não admite nenhuma solução
b) admite uma única solução
c) admite somente duas soluções
d) admite mais de três soluções
e) admite somente três soluções

Resposta

---

A

Utilizando as propriedades dos logaritmos, na primeira equação, encontrei [tex3]xy=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]xy=2[/tex3]

, e também as condições de existência. No entanto, travei.

Grato desde já.

[LucasPinafi]

[tex3]\log_2 \left ( \frac {x^2} y \right) + \log_2 \left( \frac{y^2} x \right) = \log_2 \left( \frac{x^2}{y} \cdot \frac{y^2} x \right)=1 \therefore xy = 2 \\ \log_{10} (x^2+y^2) = - \frac{\log_2 5}{\log_2 10 } = - \log_{10} 5 \therefore x^2+ y^2 = \frac 1 5 \\ x^2 + \left( \frac 2 x \right)^2 = \frac 1 5 \therefore x^4 - \frac 1 5 x^2 + 4 = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_2 \left ( \frac {x^2} y \right) + \log_2 \left( \frac{y^2} x \right) = \log_2 \left( \frac{x^2}{y} \cdot \frac{y^2} x \right)=1 \therefore xy = 2 \\ \log_{10} (x^2+y^2) = - \frac{\log_2 5}{\log_2 10 } = - \log_{10} 5 \therefore x^2+ y^2 = \frac 1 5 \\ x^2 + \left( \frac 2 x \right)^2 = \frac 1 5 \therefore x^4 - \frac 1 5 x^2 + 4 = 0[/tex3]

que não admite nenhuma solução (real).

[FelipeMP]

LucasPinafi, muito obrigado.

[Loreto]

Agora imagina fazer isso tudo pra descobrir que, na verdade, não tem solução alguma

[TakeMeDown]

Do jeito como está escrita a questão, o gabarito seria letra D, creio eu.

Há 4 soluções, certo?

[Loreto]

Não, alternativa A, não possui nenhuma solução real.

[TakeMeDown]

Há quatro soluções.

E na letra A não está escrito "não possui nenhuma solução real".