O conjunto solução de cossecx= cotgx + 2senx no intervalo [0º; 360º] é?
Resposta: {120º, 240º}
Fazendo as contas aqui deu: {0º,120º, 240º,360º}
Por que não considera-se o 0º e o 360º?
Pré-Vestibular ⇒ (UFPA) Trigonometria
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2017
11
17:46
Re: (UFPA) Trigonometria
Note que 360º=0º
Minha solução:
Como [tex3]\cossec (x)=\frac{1}{\sin(x)}[/tex3] , [tex3]\cotg(x)=\frac{1}{\tg(x)}[/tex3] e [tex3]\tg(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}[/tex3] , temos que:
[tex3]\frac{1}{\sin(x)}=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}+2\cdot\sin(x)\Rightarrow\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}=2\cdot\sin(x)\Rightarrow2\cdot\sin^2(x)=1-\cos(x)[/tex3] (i)
Pela relação fundamental da trigonometria, temos que [tex3]\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\Rightarrow\sin^2(x)=1-\cos^2(x)[/tex3] (ii)
Substituindo a equação (ii) em (i), temos que:
[tex3]2\cdot(1-\cos^2(x))=1-\cos(x)\Rightarrow2\cos^2(x)-\cos(x)-1=0[/tex3] (iii)
Chame agora [tex3]\cos(x)=k[/tex3] , e substitua esse valor na equação (iii), resolvendo esta equação, obtemos que [tex3]k'=1,k''=-\frac{1}{2}[/tex3] , logo para [tex3]\cos(x)=1,\cos(x)=-\frac{1}{2}[/tex3] temos que [tex3]x=0º,120º, 240º[/tex3]
Note agora que para [tex3]x=0º\Rightarrow\sin(x)=0[/tex3] , e voltando la nas primeiras partes do problema, tínhamos que [tex3]\frac{1}{\sin(x)}=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}+2\cdot\sin(x)[/tex3] , assim [tex3]\sin(x)\neq0[/tex3] pois [tex3]\frac{1}{0}[/tex3] ou [tex3]\frac{\cos(x)}{0}[/tex3] é impossível.
Logo, a solução é = {120º, 240º}.
Minha solução:
Como [tex3]\cossec (x)=\frac{1}{\sin(x)}[/tex3] , [tex3]\cotg(x)=\frac{1}{\tg(x)}[/tex3] e [tex3]\tg(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}[/tex3] , temos que:
[tex3]\frac{1}{\sin(x)}=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}+2\cdot\sin(x)\Rightarrow\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}=2\cdot\sin(x)\Rightarrow2\cdot\sin^2(x)=1-\cos(x)[/tex3] (i)
Pela relação fundamental da trigonometria, temos que [tex3]\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\Rightarrow\sin^2(x)=1-\cos^2(x)[/tex3] (ii)
Substituindo a equação (ii) em (i), temos que:
[tex3]2\cdot(1-\cos^2(x))=1-\cos(x)\Rightarrow2\cos^2(x)-\cos(x)-1=0[/tex3] (iii)
Chame agora [tex3]\cos(x)=k[/tex3] , e substitua esse valor na equação (iii), resolvendo esta equação, obtemos que [tex3]k'=1,k''=-\frac{1}{2}[/tex3] , logo para [tex3]\cos(x)=1,\cos(x)=-\frac{1}{2}[/tex3] temos que [tex3]x=0º,120º, 240º[/tex3]
Note agora que para [tex3]x=0º\Rightarrow\sin(x)=0[/tex3] , e voltando la nas primeiras partes do problema, tínhamos que [tex3]\frac{1}{\sin(x)}=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}+2\cdot\sin(x)[/tex3] , assim [tex3]\sin(x)\neq0[/tex3] pois [tex3]\frac{1}{0}[/tex3] ou [tex3]\frac{\cos(x)}{0}[/tex3] é impossível.
Logo, a solução é = {120º, 240º}.
Última edição: Lonel (Dom 11 Jun, 2017 17:46). Total de 2 vezes.
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