Pré-Vestibular ⇒ (UFPA) Trigonometria

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O conjunto solução de cossecx= cotgx + 2senx no intervalo [0º; 360º] é?

Resposta: {120º, 240º}

Fazendo as contas aqui deu: {0º,120º, 240º,360º}

Por que não considera-se o 0º e o 360º?

[Lonel]

Note que 360º=0º

Minha solução:

Como [tex3]\cossec (x)=\frac{1}{\sin(x)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cossec (x)=\frac{1}{\sin(x)}[/tex3]

, [tex3]\cotg(x)=\frac{1}{\tg(x)}[/tex3]

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[tex3]\cotg(x)=\frac{1}{\tg(x)}[/tex3]

e [tex3]\tg(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}[/tex3]

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[tex3]\tg(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}[/tex3]

, temos que:

[tex3]\frac{1}{\sin(x)}=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}+2\cdot\sin(x)\Rightarrow\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}=2\cdot\sin(x)\Rightarrow2\cdot\sin^2(x)=1-\cos(x)[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{\sin(x)}=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}+2\cdot\sin(x)\Rightarrow\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}=2\cdot\sin(x)\Rightarrow2\cdot\sin^2(x)=1-\cos(x)[/tex3]

(i)

Pela relação fundamental da trigonometria, temos que [tex3]\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\Rightarrow\sin^2(x)=1-\cos^2(x)[/tex3]

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[tex3]\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\Rightarrow\sin^2(x)=1-\cos^2(x)[/tex3]

(ii)

Substituindo a equação (ii) em (i), temos que:

[tex3]2\cdot(1-\cos^2(x))=1-\cos(x)\Rightarrow2\cos^2(x)-\cos(x)-1=0[/tex3]

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[tex3]2\cdot(1-\cos^2(x))=1-\cos(x)\Rightarrow2\cos^2(x)-\cos(x)-1=0[/tex3]

(iii)

Chame agora [tex3]\cos(x)=k[/tex3]

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[tex3]\cos(x)=k[/tex3]

, e substitua esse valor na equação (iii), resolvendo esta equação, obtemos que [tex3]k'=1,k''=-\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]k'=1,k''=-\frac{1}{2}[/tex3]

, logo para [tex3]\cos(x)=1,\cos(x)=-\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\cos(x)=1,\cos(x)=-\frac{1}{2}[/tex3]

temos que [tex3]x=0º,120º, 240º[/tex3]

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[tex3]x=0º,120º, 240º[/tex3]

Note agora que para [tex3]x=0º\Rightarrow\sin(x)=0[/tex3]

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[tex3]x=0º\Rightarrow\sin(x)=0[/tex3]

, e voltando la nas primeiras partes do problema, tínhamos que [tex3]\frac{1}{\sin(x)}=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}+2\cdot\sin(x)[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{\sin(x)}=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}+2\cdot\sin(x)[/tex3]

, assim [tex3]\sin(x)\neq0[/tex3]

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[tex3]\sin(x)\neq0[/tex3]

pois [tex3]\frac{1}{0}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{0}[/tex3]

ou [tex3]\frac{\cos(x)}{0}[/tex3]

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[tex3]\frac{\cos(x)}{0}[/tex3]

é impossível.

Logo, a solução é = {120º, 240º}.