Pré-Vestibular(UFC-CE) Geometria Analítica

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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Jhonatan
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Mai 2017 25 12:03

(UFC-CE) Geometria Analítica

Mensagem não lida por Jhonatan » Qui 25 Mai, 2017 12:03

Determine a área do paralelogramo de vértices [tex3](3,\ 0)[/tex3] , [tex3](15,\ 12)[/tex3] , [tex3](13,\ 14)[/tex3] e [tex3](1,\ 2)[/tex3] .

R: 48

Amigos, poderiam me ajudar nessa questão ? Acho que o maior problema está sendo em desenhar a figura, pois estou entrando agorinha nesse assunto.
Obrigado.

Última edição: Jhonatan (Qui 25 Mai, 2017 12:03). Total de 2 vezes.



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rippertoru
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Mai 2017 26 01:30

Re: (UFC-CE) Geometria Analítica

Mensagem não lida por rippertoru » Sex 26 Mai, 2017 01:30

Olá amigo.

A solução é bem simples.

Ao plotar os pontos em um plano x-y, temos a figura mostrada abaixo.
Solucao.png
Solucao.png (44.31 KiB) Exibido 1331 vezes
Calculamos as áreas [tex3]A_{1}[/tex3] e [tex3]A_{2}[/tex3] (destacadas em vermelho).

Para [tex3]A_{1}[/tex3] , temos:

[tex3]A_{1} = \frac{(2 + 14)12}{2}[/tex3]
[tex3]A_{1} = \frac{(16)12}{2}[/tex3]
[tex3]A_{1} = (16)6[/tex3]
[tex3]A_{1} = 96[/tex3]

Para [tex3]A_{2}[/tex3] , temos:

[tex3]A_{2} = \frac{(12 + 14)2}{2}[/tex3]
[tex3]A_{2} = 12 + 14[/tex3]
[tex3]A_{2} = 26[/tex3]

Logo:

[tex3]A_{parcial} = A_{1} + A_{2}[/tex3]
[tex3]A_{parcial} = 96 + 26[/tex3]
[tex3]A_{parcial} = 122[/tex3]

Em seguida, calculamos as áreas [tex3]A_{3}[/tex3] e [tex3]A_{4}[/tex3] :

Para [tex3]A_{3}[/tex3] , temos:

[tex3]A_{3} = \frac{(12)12}{2}[/tex3]
[tex3]A_{3} = (12)6[/tex3]
[tex3]A_{3} = 72[/tex3]

Para [tex3]A_{4}[/tex3] , temos:

[tex3]A_{4} = \frac{(2)2}{2}[/tex3]
[tex3]A_{4} = 2[/tex3]

Logo:

[tex3]A_{que\ deve\ ser\ subtraida} = A_{3} + A_{4}[/tex3]
[tex3]A_{que\ deve\ ser\ subtraida} = 72 + 2[/tex3]
[tex3]A_{que\ deve\ ser\ subtraida} = 74[/tex3]

Sendo assim a área do paralelogramo é dada por:

[tex3]A_{paralelogramo} = A_{parcial} - A_{que\ deve\ ser\ subtraida}[/tex3]
[tex3]A_{paralelogramo} = 122 - 74[/tex3]
[tex3]A_{paralelogramo} = 48[/tex3]

Espero ter ajudado!

Última edição: rippertoru (Sex 26 Mai, 2017 01:30). Total de 3 vezes.


Sem sacrifício não há vitória.

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paulo testoni
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Re: Geometria Analítica

Mensagem não lida por paulo testoni » Sex 26 Mai, 2017 09:48

Hola.

Respeitando a brilhante resolução dada pelo companheiro rippertoru, penso que num concurso ou prova não dispomos desse recurso. Precisamos ser ágeis no tempo.

A área desse paralelogramo será o dobro da área do triângulo formado pelos pontos (3,0), (13,14), (1,2). para achar essa área devemos resolver por um determinante.

[tex3]D=\left| \begin{array}{rcr}
1 & 2 & 1 & \\
3 & 0 & 1 &\\
13 & 14 & 1 & \\
\end{array} \right|[/tex3]

[tex3]D=1*0*1+3*14*1+2*1*13-(13*0*1+3*2*1+14*1*1)\\
D=0+42+26-(0+6+14)\\
D=68-20\\
D=48[/tex3]

Temos que a área do desse triângulo, será:

[tex3]S=\frac{1}{2}I48I\\
S=24[/tex3]

Como a área do paralelogramo é o dobro disso, temos que a área desejada é: [tex3]A=24*2=48[/tex3]
Última edição: paulo testoni (Sex 26 Mai, 2017 09:48). Total de 4 vezes.


Paulo Testoni

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Re: (UFC-CE) Geometria Analítica

Mensagem não lida por Jhonatan » Sex 26 Mai, 2017 13:54

Os dois ajudaram muito.
Obrigado pelo esclarecimento.



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paulo testoni
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Re: (UFC-CE) Geometria Analítica

Mensagem não lida por paulo testoni » Sex 26 Mai, 2017 16:07

Hola Jhonatan .

Tente fazer com os pontos: (15, 12), (13, 14), (1, 2) para confirmar a resposta.

Última edição: paulo testoni (Sex 26 Mai, 2017 16:08). Total de 1 vez.


Paulo Testoni

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