Quanto aos valores reais de x para os quais é verdadeira a igualdade:
[tex3]\log_9 \left(2x-5 \right) + \log_3 \sqrt{3x} =1[/tex3]
Assinale o que for correto:
01) Existe uma única solução que é um número primo.
02) Existem duas soluções cuja soma é positiva.
04) Existem duas soluções cujo produto é negativo.
08) Existe uma única solução fracionária.
16) Existe uma única solução, que é menor que [tex3]\log_5 625[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Pré-Vestibular ⇒ (UEPG - 2012) Função Logaritma Tópico resolvido
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blaze8876
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Mai 2017
14
17:13
(UEPG - 2012) Função Logaritma
Editado pela última vez por blaze8876 em 14 Mai 2017, 17:13, em um total de 3 vezes.
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rodBR
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Mai 2017
15
13:29
Re: UEPG (2012) função logaritma
Olá boa tarde.
"Quanto aos valores reais de x para os quais é verdadeira a igualdade: [tex3]\log_{9}(2x-5)+\log_{3}\sqrt{3x}=1[/tex3] "
Vamos utilizar:
(I) [tex3]\log_{a^{\beta }}C=\frac{1}{\beta }\log_{a}C[/tex3] (Consequência da mudança de base)
(II)[tex3]\log_{a}(B\times C)=\log_{a}B+\log_{a}C[/tex3]
(III) [tex3]\log_{a}b^{w}=w\cdot \log_{a}b[/tex3] ]
Verificando a condição de existência de [tex3]\log_{9}(2x-5)+\log_{3}\sqrt{3x}=1[/tex3] , temos:
[tex3]2x-5 >0\rightarrow x>\frac{5}{2}[/tex3]
[tex3]\sqrt{3x} > 0\rightarrow x>0[/tex3]
Agora vamos a solução:
[tex3]\log_{9}(2x-5)+\log_{3}\sqrt{3x}=1[/tex3]
[tex3]\log_{3^{2}}(2x-5)+\log_{3}\sqrt{3x}=1[/tex3] . Aplicando (I):
[tex3]\frac{1}{2}\cdot \log_{3}(2x-5)+\log_{3}\sqrt{3x}=1[/tex3] . Aplicando (II) e (III):
[tex3]\log_{3}(2x-5)^{\frac{1}{2}}\cdot (\sqrt{3x})=1[/tex3]
[tex3]\log_{3}\sqrt{(2x-5)}\cdot \sqrt{3x}=1[/tex3] . Aplicando a definição de logaritmos, temos:
[tex3]\sqrt{(2x-5)}\cdot \sqrt{3x}=3[/tex3]
[tex3]\sqrt{6x^2-15x}=3[/tex3] . Eleve ambos membros ao quadrado:
[tex3]6x^2-15x=9[/tex3] . dividindo por 3 ambos os membros e em seguida rearrumando, obtemos:
[tex3]2x^2-5x-3=0[/tex3] [tex3]\rightarrow \Delta =49[/tex3]
[tex3]x_{1}=3[/tex3]
[tex3]x_{2}=-\frac{1}{2} \ \ (não \ serve \ , \ pois \ não \ satisfaz \ a \ condição \ de \ existência)[/tex3]
Portanto, a solução da equação é [tex3]x=3[/tex3] .
(1) Verdadeiro
(2) Falso
(4) Falso
(8) Falso
(16) Verdadeiro, pois [tex3]\log_{5}625=\log_{5}5^4=4[/tex3]
Ps: (2), (4) e (8) seriam verdadeiras se considerarmos [tex3]x=-\frac{1}{2}[/tex3] como solução, porém [tex3]-\frac{1}{2}[/tex3] não satisfaz a condição de existência, logo a única solução da equação é [tex3]x=3[/tex3] ; oq torna (2), (4) e (8) Falsas.
Att>> rodBR
"Quanto aos valores reais de x para os quais é verdadeira a igualdade: [tex3]\log_{9}(2x-5)+\log_{3}\sqrt{3x}=1[/tex3] "
Vamos utilizar:
(I) [tex3]\log_{a^{\beta }}C=\frac{1}{\beta }\log_{a}C[/tex3] (Consequência da mudança de base)
(II)[tex3]\log_{a}(B\times C)=\log_{a}B+\log_{a}C[/tex3]
(III) [tex3]\log_{a}b^{w}=w\cdot \log_{a}b[/tex3] ]
Verificando a condição de existência de [tex3]\log_{9}(2x-5)+\log_{3}\sqrt{3x}=1[/tex3] , temos:
[tex3]2x-5 >0\rightarrow x>\frac{5}{2}[/tex3]
[tex3]\sqrt{3x} > 0\rightarrow x>0[/tex3]
Agora vamos a solução:
[tex3]\log_{9}(2x-5)+\log_{3}\sqrt{3x}=1[/tex3]
[tex3]\log_{3^{2}}(2x-5)+\log_{3}\sqrt{3x}=1[/tex3] . Aplicando (I):
[tex3]\frac{1}{2}\cdot \log_{3}(2x-5)+\log_{3}\sqrt{3x}=1[/tex3] . Aplicando (II) e (III):
[tex3]\log_{3}(2x-5)^{\frac{1}{2}}\cdot (\sqrt{3x})=1[/tex3]
[tex3]\log_{3}\sqrt{(2x-5)}\cdot \sqrt{3x}=1[/tex3] . Aplicando a definição de logaritmos, temos:
[tex3]\sqrt{(2x-5)}\cdot \sqrt{3x}=3[/tex3]
[tex3]\sqrt{6x^2-15x}=3[/tex3] . Eleve ambos membros ao quadrado:
[tex3]6x^2-15x=9[/tex3] . dividindo por 3 ambos os membros e em seguida rearrumando, obtemos:
[tex3]2x^2-5x-3=0[/tex3] [tex3]\rightarrow \Delta =49[/tex3]
[tex3]x_{1}=3[/tex3]
[tex3]x_{2}=-\frac{1}{2} \ \ (não \ serve \ , \ pois \ não \ satisfaz \ a \ condição \ de \ existência)[/tex3]
Portanto, a solução da equação é [tex3]x=3[/tex3] .
(1) Verdadeiro
(2) Falso
(4) Falso
(8) Falso
(16) Verdadeiro, pois [tex3]\log_{5}625=\log_{5}5^4=4[/tex3]
Ps: (2), (4) e (8) seriam verdadeiras se considerarmos [tex3]x=-\frac{1}{2}[/tex3] como solução, porém [tex3]-\frac{1}{2}[/tex3] não satisfaz a condição de existência, logo a única solução da equação é [tex3]x=3[/tex3] ; oq torna (2), (4) e (8) Falsas.
Att>> rodBR
Editado pela última vez por rodBR em 15 Mai 2017, 13:29, em um total de 3 vezes.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
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blaze8876
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Mai 2017
15
20:41
Re: UEPG (2012) função logaritma
Eu não conhecia essa primeira propriedade (I) de mudança de base que você utilizou, muito obrigado, e boa sorte no seu concurso 
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rodBR
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Mai 2017
15
22:57
Re: (UEPG - 2012) Função Logaritma
Olá amigo, boa noite.
Quanto a mudança de base. Para [tex3]b >0[/tex3] e a base da forma [tex3]a^x[/tex3] com a [tex3]\in \mathbb{R, \ \ 0< a}\neq 1[/tex3] :
[tex3]\log_{a^x }b[/tex3] . Mudando para a base [tex3]b[/tex3] :
[tex3]\frac{\log_{b}b}{\log_{b}a^x}=\frac{1}{\log_{b}a^x}=\frac{1}{x\cdot \log_{b}a}=\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\log_{b}a}[/tex3] (I)
Como [tex3]\log_{a}b= \frac{1}{\log_{b}a}[/tex3] , temos que (I) fica:
[tex3]\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\log_{b}a}=\frac{1}{x}\cdot \log_{a}b[/tex3] .
Exemplo:
[tex3]\log_{100}2[/tex3] . Aplicando a consequência da mudança de base:
[tex3]\log_{10^2}2=\frac{1}{2}\cdot \log_{10}2[/tex3]
Agora fazendo pela mudança de base:
[tex3]\log_{100}2[/tex3] . Mudando para a base 10:
[tex3]=\frac{\log_{10}2}{\log_{10}100}[/tex3]
[tex3]=\frac{\log_{10}2}{\log_{10}10^2}[/tex3]
[tex3]=\frac{\log_{10}2}{2\cdot \log_{10}10}[/tex3]
[tex3]\frac{\log_{10}2}{2}= \frac{1}{2}\cdot \log_{10}2[/tex3] .
Acredito que ficou melhor agora.
Abraços..
Quanto a mudança de base. Para [tex3]b >0[/tex3] e a base da forma [tex3]a^x[/tex3] com a [tex3]\in \mathbb{R, \ \ 0< a}\neq 1[/tex3] :
[tex3]\log_{a^x }b[/tex3] . Mudando para a base [tex3]b[/tex3] :
[tex3]\frac{\log_{b}b}{\log_{b}a^x}=\frac{1}{\log_{b}a^x}=\frac{1}{x\cdot \log_{b}a}=\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\log_{b}a}[/tex3] (I)
Como [tex3]\log_{a}b= \frac{1}{\log_{b}a}[/tex3] , temos que (I) fica:
[tex3]\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\log_{b}a}=\frac{1}{x}\cdot \log_{a}b[/tex3] .
Exemplo:
[tex3]\log_{100}2[/tex3] . Aplicando a consequência da mudança de base:
[tex3]\log_{10^2}2=\frac{1}{2}\cdot \log_{10}2[/tex3]
Agora fazendo pela mudança de base:
[tex3]\log_{100}2[/tex3] . Mudando para a base 10:
[tex3]=\frac{\log_{10}2}{\log_{10}100}[/tex3]
[tex3]=\frac{\log_{10}2}{\log_{10}10^2}[/tex3]
[tex3]=\frac{\log_{10}2}{2\cdot \log_{10}10}[/tex3]
[tex3]\frac{\log_{10}2}{2}= \frac{1}{2}\cdot \log_{10}2[/tex3] .
Acredito que ficou melhor agora.
Abraços..
Editado pela última vez por rodBR em 15 Mai 2017, 22:57, em um total de 2 vezes.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
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