Quanto aos valores reais de x para os quais é verdadeira a igualdade:
[tex3]\log_9 \left(2x-5 \right) + \log_3 \sqrt{3x} =1[/tex3]
Assinale o que for correto:
01) Existe uma única solução que é um número primo.
02) Existem duas soluções cuja soma é positiva.
04) Existem duas soluções cujo produto é negativo.
08) Existe uma única solução fracionária.
16) Existe uma única solução, que é menor que [tex3]\log_5 625[/tex3]
Pré-Vestibular ⇒ (UEPG - 2012) Função Logaritma Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mai 2017
14
17:13
(UEPG - 2012) Função Logaritma
Última edição: blaze8876 (Dom 14 Mai, 2017 17:13). Total de 3 vezes.
Mai 2017
15
13:29
Re: UEPG (2012) função logaritma
Olá boa tarde.
"Quanto aos valores reais de x para os quais é verdadeira a igualdade: [tex3]\log_{9}(2x-5)+\log_{3}\sqrt{3x}=1[/tex3] "
Vamos utilizar:
(I) [tex3]\log_{a^{\beta }}C=\frac{1}{\beta }\log_{a}C[/tex3] (Consequência da mudança de base)
(II)[tex3]\log_{a}(B\times C)=\log_{a}B+\log_{a}C[/tex3]
(III) [tex3]\log_{a}b^{w}=w\cdot \log_{a}b[/tex3] ]
Verificando a condição de existência de [tex3]\log_{9}(2x-5)+\log_{3}\sqrt{3x}=1[/tex3] , temos:
[tex3]2x-5 >0\rightarrow x>\frac{5}{2}[/tex3]
[tex3]\sqrt{3x} > 0\rightarrow x>0[/tex3]
Agora vamos a solução:
[tex3]\log_{9}(2x-5)+\log_{3}\sqrt{3x}=1[/tex3]
[tex3]\log_{3^{2}}(2x-5)+\log_{3}\sqrt{3x}=1[/tex3] . Aplicando (I):
[tex3]\frac{1}{2}\cdot \log_{3}(2x-5)+\log_{3}\sqrt{3x}=1[/tex3] . Aplicando (II) e (III):
[tex3]\log_{3}(2x-5)^{\frac{1}{2}}\cdot (\sqrt{3x})=1[/tex3]
[tex3]\log_{3}\sqrt{(2x-5)}\cdot \sqrt{3x}=1[/tex3] . Aplicando a definição de logaritmos, temos:
[tex3]\sqrt{(2x-5)}\cdot \sqrt{3x}=3[/tex3]
[tex3]\sqrt{6x^2-15x}=3[/tex3] . Eleve ambos membros ao quadrado:
[tex3]6x^2-15x=9[/tex3] . dividindo por 3 ambos os membros e em seguida rearrumando, obtemos:
[tex3]2x^2-5x-3=0[/tex3] [tex3]\rightarrow \Delta =49[/tex3]
[tex3]x_{1}=3[/tex3]
[tex3]x_{2}=-\frac{1}{2} \ \ (não \ serve \ , \ pois \ não \ satisfaz \ a \ condição \ de \ existência)[/tex3]
Portanto, a solução da equação é [tex3]x=3[/tex3] .
(1) Verdadeiro
(2) Falso
(4) Falso
(8) Falso
(16) Verdadeiro, pois [tex3]\log_{5}625=\log_{5}5^4=4[/tex3]
Ps: (2), (4) e (8) seriam verdadeiras se considerarmos [tex3]x=-\frac{1}{2}[/tex3] como solução, porém [tex3]-\frac{1}{2}[/tex3] não satisfaz a condição de existência, logo a única solução da equação é [tex3]x=3[/tex3] ; oq torna (2), (4) e (8) Falsas.
Att>> rodBR
"Quanto aos valores reais de x para os quais é verdadeira a igualdade: [tex3]\log_{9}(2x-5)+\log_{3}\sqrt{3x}=1[/tex3] "
Vamos utilizar:
(I) [tex3]\log_{a^{\beta }}C=\frac{1}{\beta }\log_{a}C[/tex3] (Consequência da mudança de base)
(II)[tex3]\log_{a}(B\times C)=\log_{a}B+\log_{a}C[/tex3]
(III) [tex3]\log_{a}b^{w}=w\cdot \log_{a}b[/tex3] ]
Verificando a condição de existência de [tex3]\log_{9}(2x-5)+\log_{3}\sqrt{3x}=1[/tex3] , temos:
[tex3]2x-5 >0\rightarrow x>\frac{5}{2}[/tex3]
[tex3]\sqrt{3x} > 0\rightarrow x>0[/tex3]
Agora vamos a solução:
[tex3]\log_{9}(2x-5)+\log_{3}\sqrt{3x}=1[/tex3]
[tex3]\log_{3^{2}}(2x-5)+\log_{3}\sqrt{3x}=1[/tex3] . Aplicando (I):
[tex3]\frac{1}{2}\cdot \log_{3}(2x-5)+\log_{3}\sqrt{3x}=1[/tex3] . Aplicando (II) e (III):
[tex3]\log_{3}(2x-5)^{\frac{1}{2}}\cdot (\sqrt{3x})=1[/tex3]
[tex3]\log_{3}\sqrt{(2x-5)}\cdot \sqrt{3x}=1[/tex3] . Aplicando a definição de logaritmos, temos:
[tex3]\sqrt{(2x-5)}\cdot \sqrt{3x}=3[/tex3]
[tex3]\sqrt{6x^2-15x}=3[/tex3] . Eleve ambos membros ao quadrado:
[tex3]6x^2-15x=9[/tex3] . dividindo por 3 ambos os membros e em seguida rearrumando, obtemos:
[tex3]2x^2-5x-3=0[/tex3] [tex3]\rightarrow \Delta =49[/tex3]
[tex3]x_{1}=3[/tex3]
[tex3]x_{2}=-\frac{1}{2} \ \ (não \ serve \ , \ pois \ não \ satisfaz \ a \ condição \ de \ existência)[/tex3]
Portanto, a solução da equação é [tex3]x=3[/tex3] .
(1) Verdadeiro
(2) Falso
(4) Falso
(8) Falso
(16) Verdadeiro, pois [tex3]\log_{5}625=\log_{5}5^4=4[/tex3]
Ps: (2), (4) e (8) seriam verdadeiras se considerarmos [tex3]x=-\frac{1}{2}[/tex3] como solução, porém [tex3]-\frac{1}{2}[/tex3] não satisfaz a condição de existência, logo a única solução da equação é [tex3]x=3[/tex3] ; oq torna (2), (4) e (8) Falsas.
Att>> rodBR
Última edição: rodBR (Seg 15 Mai, 2017 13:29). Total de 3 vezes.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
Mai 2017
15
20:41
Re: UEPG (2012) função logaritma
Eu não conhecia essa primeira propriedade (I) de mudança de base que você utilizou, muito obrigado, e boa sorte no seu concurso 
Mai 2017
15
22:57
Re: (UEPG - 2012) Função Logaritma
Olá amigo, boa noite.
Quanto a mudança de base. Para [tex3]b >0[/tex3] e a base da forma [tex3]a^x[/tex3] com a [tex3]\in \mathbb{R, \ \ 0< a}\neq 1[/tex3] :
[tex3]\log_{a^x }b[/tex3] . Mudando para a base [tex3]b[/tex3] :
[tex3]\frac{\log_{b}b}{\log_{b}a^x}=\frac{1}{\log_{b}a^x}=\frac{1}{x\cdot \log_{b}a}=\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\log_{b}a}[/tex3] (I)
Como [tex3]\log_{a}b= \frac{1}{\log_{b}a}[/tex3] , temos que (I) fica:
[tex3]\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\log_{b}a}=\frac{1}{x}\cdot \log_{a}b[/tex3] .
Exemplo:
[tex3]\log_{100}2[/tex3] . Aplicando a consequência da mudança de base:
[tex3]\log_{10^2}2=\frac{1}{2}\cdot \log_{10}2[/tex3]
Agora fazendo pela mudança de base:
[tex3]\log_{100}2[/tex3] . Mudando para a base 10:
[tex3]=\frac{\log_{10}2}{\log_{10}100}[/tex3]
[tex3]=\frac{\log_{10}2}{\log_{10}10^2}[/tex3]
[tex3]=\frac{\log_{10}2}{2\cdot \log_{10}10}[/tex3]
[tex3]\frac{\log_{10}2}{2}= \frac{1}{2}\cdot \log_{10}2[/tex3] .
Acredito que ficou melhor agora.
Abraços..
Quanto a mudança de base. Para [tex3]b >0[/tex3] e a base da forma [tex3]a^x[/tex3] com a [tex3]\in \mathbb{R, \ \ 0< a}\neq 1[/tex3] :
[tex3]\log_{a^x }b[/tex3] . Mudando para a base [tex3]b[/tex3] :
[tex3]\frac{\log_{b}b}{\log_{b}a^x}=\frac{1}{\log_{b}a^x}=\frac{1}{x\cdot \log_{b}a}=\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\log_{b}a}[/tex3] (I)
Como [tex3]\log_{a}b= \frac{1}{\log_{b}a}[/tex3] , temos que (I) fica:
[tex3]\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\log_{b}a}=\frac{1}{x}\cdot \log_{a}b[/tex3] .
Exemplo:
[tex3]\log_{100}2[/tex3] . Aplicando a consequência da mudança de base:
[tex3]\log_{10^2}2=\frac{1}{2}\cdot \log_{10}2[/tex3]
Agora fazendo pela mudança de base:
[tex3]\log_{100}2[/tex3] . Mudando para a base 10:
[tex3]=\frac{\log_{10}2}{\log_{10}100}[/tex3]
[tex3]=\frac{\log_{10}2}{\log_{10}10^2}[/tex3]
[tex3]=\frac{\log_{10}2}{2\cdot \log_{10}10}[/tex3]
[tex3]\frac{\log_{10}2}{2}= \frac{1}{2}\cdot \log_{10}2[/tex3] .
Acredito que ficou melhor agora.
Abraços..
Última edição: rodBR (Seg 15 Mai, 2017 22:57). Total de 2 vezes.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
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