Pré-Vestibular(UFSC) Progressões Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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Autor do Tópico
ismaelmat
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(UFSC) Progressões

Mensagem não lida por ismaelmat »

Sejam([tex3]a_{n}[/tex3] ) uma progressão geométrica e ([tex3]b_{n}[/tex3] ) uma progressão aritmética cuja razão é 3/10 da razão da progressão geométrica([tex3]a_{n}[/tex3] ). Sabendo que [tex3]a_{1} = b_{1}[/tex3] =2 e que [tex3]a_{2} = b_{7}[/tex3] calcule a soma [tex3]b_{1} + b_{2}[/tex3] + ... + [tex3]b_{7}[/tex3] .

Gabarito:
Resposta

77

Última edição: ismaelmat (Sex 21 Abr, 2017 18:37). Total de 2 vezes.



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rodBR
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Abr 2017 21 22:18

Re: (UFSC) Progressões

Mensagem não lida por rodBR »

Olá Ismael.

A ideia é a mesma:
P.A: De um termo qualquer para avançarmos ao termo seguinte somamos a razão, para avançar dois termos somamos duas vezes a razão, ...
P.G: De um termo qualquer para avançarmos ao termo seguinte multiplicamos pela razão, para avançar dois termos multiplicamos pela razão ao quadrado, ...

Vamos a solução:
[tex3]a_{n}\rightarrow P.G\therefore razão=q[/tex3]
[tex3]b_{n}\rightarrow P.A\therefore razão\rightarrow r=\frac{3q}{10}[/tex3]
[tex3]a_{1}=b_{1}=2[/tex3] .

De:
[tex3]a_{2}=b_{7}[/tex3] . Temos:
[tex3]a_{1}\cdot q=b_{1}+6r[/tex3] . Substitua o valor de [tex3]a_{1}, \ b_{1}[/tex3] e [tex3]q. \ \ \ \ \ r=\frac{3q}{10}\rightarrow q=\frac{10r}{3}[/tex3] :
[tex3]2\cdot \frac{10r}{3}=2+6r[/tex3] . Multiplique ambos os membros por 3:
[tex3]20r=6+18r[/tex3]
[tex3]2r=6\rightarrow r=3[/tex3]

Calculemos o sétimo termo da P.A:
[tex3]b_{7}=b_{1}+6r[/tex3]
[tex3]b_{7}=2+6\cdot 3\rightarrow b_{7}=20[/tex3]

Lembremos que a soma dos termos de uma P.A é dado por:
[tex3]S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}[/tex3]

Queremos a soma dos 7 primeiros termos da P.A:
[tex3]S_{7}=\frac{(b_{1}+b_{7})\cdot 7}{2}[/tex3]
[tex3]S_{7}=\frac{(2+20)\cdot 7}{2}[/tex3]
[tex3]S_{7}=77[/tex3]

Att>>RodBR.

Última edição: rodBR (Sex 21 Abr, 2017 22:18). Total de 5 vezes.


"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".

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