Seja AB um diâmetro de uma circunferência de raio r C um ponto genérico da circunferência. Determine a área do triângulo ABC em função do ângulo "b" e do raio r. Para que valor do ângulo "b" esta área é máxima?
R:r^2sen2b e b=45graus
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Flavio2020 
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Abr 2017
04
13:22
Re: (Fuvest)Triângulo
Olá, Flávio2020!
A área de um triângulo é obtida por [tex3]A_{t.} = \frac{B_t\cdot H_t}{2}[/tex3] . No entanto, nem sempre podemos aplicar diretamente a fórmula da área. Em alguns casos, precisamos de manipulações de outras fórmulas para obtê-la.
1ºPasso) Obter uma expressão para a base em função de b
Pela Lei dos Senos:
[tex3]\frac{\overline{AC}}{sen(b)} = \frac{\overline{BC}}{sen(c)} = \frac{\overline{AB}}{sen(a)} = 2r[/tex3]
Como queremos em função de b:
[tex3]\overline{AC} = 2r \cdot sen(b)[/tex3] (I)
2ºPasso) Obter uma expressão para a altura em função de b
Aqui utilizei a definição de ângulo inscrito*. O ângulo central de um diâmetro vale 180º. Todos os ângulos inscritos a partir de um diâmetro terão a metade de sua medida. Então, o triângulo que estamos tratando é retângulo. Com isso, nós sabemos que a altura relativa ao lado [tex3]\overline{AC}[/tex3] é o lado [tex3]\overline{BC}[/tex3] . Daí, nós podemos reescrever a altura em função de r e do ângulo b como:
[tex3]\overline{BC} = \overline{AB} \cdot cos(b)[/tex3] , mas [tex3]\overline{AB} = 2r[/tex3] (é o diâmetro):
[tex3]\overline{BC} = 2r \cdot cos(b)[/tex3] (II)
3ºPasso) Unir as expressões
Sabendo que a fórmula da área do triângulo que (I) é base e (II) é altura:
[tex3]A_{t.} = \frac{B_t \cdot H_t}{2}[/tex3] => [tex3]A_{t.} = \frac{ 2r \cdot sen(b) \cdot \not{2}r \cdot cos(b)}{\not{2}}[/tex3]
=> [tex3]A_{t.} = 2sen(b)cos(b)r^2[/tex3] , como sen(2b) = 2sen(b)cos(b):
[tex3]A_{t.} = r^2\cdot sen(2b)[/tex3] (Item A)
A área será máxima quando o seno for máximo:
[tex3]sen(2b) = 1[/tex3] => [tex3]2b = sen^{-1}(1)[/tex3] => [tex3]2b = 90º[/tex3] => b = 45º (Item B)
*É o ângulo cujo vértice está em um ponto qualquer da circunferência e os lados são secantes à mesma. É o caso do nosso problema.
A área de um triângulo é obtida por [tex3]A_{t.} = \frac{B_t\cdot H_t}{2}[/tex3] . No entanto, nem sempre podemos aplicar diretamente a fórmula da área. Em alguns casos, precisamos de manipulações de outras fórmulas para obtê-la.
1ºPasso) Obter uma expressão para a base em função de b
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[tex3]\frac{\overline{AC}}{sen(b)} = \frac{\overline{BC}}{sen(c)} = \frac{\overline{AB}}{sen(a)} = 2r[/tex3]
Como queremos em função de b:
[tex3]\overline{AC} = 2r \cdot sen(b)[/tex3] (I)
2ºPasso) Obter uma expressão para a altura em função de b
Aqui utilizei a definição de ângulo inscrito*. O ângulo central de um diâmetro vale 180º. Todos os ângulos inscritos a partir de um diâmetro terão a metade de sua medida. Então, o triângulo que estamos tratando é retângulo. Com isso, nós sabemos que a altura relativa ao lado [tex3]\overline{AC}[/tex3] é o lado [tex3]\overline{BC}[/tex3] . Daí, nós podemos reescrever a altura em função de r e do ângulo b como:
[tex3]\overline{BC} = \overline{AB} \cdot cos(b)[/tex3] , mas [tex3]\overline{AB} = 2r[/tex3] (é o diâmetro):
[tex3]\overline{BC} = 2r \cdot cos(b)[/tex3] (II)
3ºPasso) Unir as expressões
Sabendo que a fórmula da área do triângulo que (I) é base e (II) é altura:
[tex3]A_{t.} = \frac{B_t \cdot H_t}{2}[/tex3] => [tex3]A_{t.} = \frac{ 2r \cdot sen(b) \cdot \not{2}r \cdot cos(b)}{\not{2}}[/tex3]
=> [tex3]A_{t.} = 2sen(b)cos(b)r^2[/tex3] , como sen(2b) = 2sen(b)cos(b):
[tex3]A_{t.} = r^2\cdot sen(2b)[/tex3] (Item A)
A área será máxima quando o seno for máximo:
[tex3]sen(2b) = 1[/tex3] => [tex3]2b = sen^{-1}(1)[/tex3] => [tex3]2b = 90º[/tex3] => b = 45º (Item B)
*É o ângulo cujo vértice está em um ponto qualquer da circunferência e os lados são secantes à mesma. É o caso do nosso problema.
Última edição: Auto Excluído (ID:17092) (Ter 04 Abr, 2017 13:22). Total de 1 vez.
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