Seja AB um diâmetro de uma circunferência de raio r C um ponto genérico da circunferência. Determine a área do triângulo ABC em função do ângulo "b" e do raio r. Para que valor do ângulo "b" esta área é máxima?
R:r^2sen2b e b=45graus
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Pré-Vestibular ⇒ (Fuvest)Triângulo
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Flavio2020
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Abr 2017
04
13:22
Re: (Fuvest)Triângulo
Olá, Flávio2020!
A área de um triângulo é obtida por [tex3]A_{t.} = \frac{B_t\cdot H_t}{2}[/tex3] . No entanto, nem sempre podemos aplicar diretamente a fórmula da área. Em alguns casos, precisamos de manipulações de outras fórmulas para obtê-la.
1ºPasso) Obter uma expressão para a base em função de b
Pela Lei dos Senos:
[tex3]\frac{\overline{AC}}{sen(b)} = \frac{\overline{BC}}{sen(c)} = \frac{\overline{AB}}{sen(a)} = 2r[/tex3]
Como queremos em função de b:
[tex3]\overline{AC} = 2r \cdot sen(b)[/tex3] (I)
2ºPasso) Obter uma expressão para a altura em função de b
Aqui utilizei a definição de ângulo inscrito*. O ângulo central de um diâmetro vale 180º. Todos os ângulos inscritos a partir de um diâmetro terão a metade de sua medida. Então, o triângulo que estamos tratando é retângulo. Com isso, nós sabemos que a altura relativa ao lado [tex3]\overline{AC}[/tex3] é o lado [tex3]\overline{BC}[/tex3] . Daí, nós podemos reescrever a altura em função de r e do ângulo b como:
[tex3]\overline{BC} = \overline{AB} \cdot cos(b)[/tex3] , mas [tex3]\overline{AB} = 2r[/tex3] (é o diâmetro):
[tex3]\overline{BC} = 2r \cdot cos(b)[/tex3] (II)
3ºPasso) Unir as expressões
Sabendo que a fórmula da área do triângulo que (I) é base e (II) é altura:
[tex3]A_{t.} = \frac{B_t \cdot H_t}{2}[/tex3] => [tex3]A_{t.} = \frac{ 2r \cdot sen(b) \cdot \not{2}r \cdot cos(b)}{\not{2}}[/tex3]
=> [tex3]A_{t.} = 2sen(b)cos(b)r^2[/tex3] , como sen(2b) = 2sen(b)cos(b):
[tex3]A_{t.} = r^2\cdot sen(2b)[/tex3] (Item A)
A área será máxima quando o seno for máximo:
[tex3]sen(2b) = 1[/tex3] => [tex3]2b = sen^{-1}(1)[/tex3] => [tex3]2b = 90º[/tex3] => b = 45º (Item B)
*É o ângulo cujo vértice está em um ponto qualquer da circunferência e os lados são secantes à mesma. É o caso do nosso problema.
A área de um triângulo é obtida por [tex3]A_{t.} = \frac{B_t\cdot H_t}{2}[/tex3] . No entanto, nem sempre podemos aplicar diretamente a fórmula da área. Em alguns casos, precisamos de manipulações de outras fórmulas para obtê-la.
1ºPasso) Obter uma expressão para a base em função de b
- Triangulo.jpg (10.6 KiB) Exibido 577 vezes
[tex3]\frac{\overline{AC}}{sen(b)} = \frac{\overline{BC}}{sen(c)} = \frac{\overline{AB}}{sen(a)} = 2r[/tex3]
Como queremos em função de b:
[tex3]\overline{AC} = 2r \cdot sen(b)[/tex3] (I)
2ºPasso) Obter uma expressão para a altura em função de b
Aqui utilizei a definição de ângulo inscrito*. O ângulo central de um diâmetro vale 180º. Todos os ângulos inscritos a partir de um diâmetro terão a metade de sua medida. Então, o triângulo que estamos tratando é retângulo. Com isso, nós sabemos que a altura relativa ao lado [tex3]\overline{AC}[/tex3] é o lado [tex3]\overline{BC}[/tex3] . Daí, nós podemos reescrever a altura em função de r e do ângulo b como:
[tex3]\overline{BC} = \overline{AB} \cdot cos(b)[/tex3] , mas [tex3]\overline{AB} = 2r[/tex3] (é o diâmetro):
[tex3]\overline{BC} = 2r \cdot cos(b)[/tex3] (II)
3ºPasso) Unir as expressões
Sabendo que a fórmula da área do triângulo que (I) é base e (II) é altura:
[tex3]A_{t.} = \frac{B_t \cdot H_t}{2}[/tex3] => [tex3]A_{t.} = \frac{ 2r \cdot sen(b) \cdot \not{2}r \cdot cos(b)}{\not{2}}[/tex3]
=> [tex3]A_{t.} = 2sen(b)cos(b)r^2[/tex3] , como sen(2b) = 2sen(b)cos(b):
[tex3]A_{t.} = r^2\cdot sen(2b)[/tex3] (Item A)
A área será máxima quando o seno for máximo:
[tex3]sen(2b) = 1[/tex3] => [tex3]2b = sen^{-1}(1)[/tex3] => [tex3]2b = 90º[/tex3] => b = 45º (Item B)
*É o ângulo cujo vértice está em um ponto qualquer da circunferência e os lados são secantes à mesma. É o caso do nosso problema.
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:17092) em 04 Abr 2017, 13:22, em um total de 1 vez.
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