Pré-Vestibular ⇒ (Fundação Carlos Chagas)Triângulo Tópico resolvido

[Flavio2020]

a e b são números reais, tais que a>b>0. O triângulo cujo os lados medem: a^2 +b^2, a^2-b^2 e 2ab é sempre:
a)triângulo retângulo
b)triângulo obtusângulo
c)triângulo acutângulo
d)triângulo isósceles
e)triângulo eqüilátero

[petras]

a>b>c
a=a²-b²
b=2ab
c=a²+b²

Lei dos cossenos : c²=a²+b²-2abcos [tex3]\alpha[/tex3]

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[tex3]\alpha[/tex3]

[tex3](a^2+b^2)^2 = (a^2-b^2)^2 + (2ab)^2 - 2(2ab)(a^2-b^2)cos\alpha[/tex3]

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[tex3](a^2+b^2)^2 = (a^2-b^2)^2 + (2ab)^2 - 2(2ab)(a^2-b^2)cos\alpha[/tex3]

[tex3]a^4+2a^2b^2+b^4 = a^2-2a^2b^2+b^4+4a^2b^2 - 4 (ab)(a^2-b^2)cos\alpha\rightarrow 2a^2b^2= -2a^2b^2+4a^2b^2 - 4 (ab)(a^2-b^2)cos\alpha \\\
0= -4a^2b^2+4a^2b^2-4a^3bcos\alpha +4ab^3cos\alpha\rightarrow 0= -4ab(a²-b²)cos\alpha[/tex3]

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[tex3]a^4+2a^2b^2+b^4 = a^2-2a^2b^2+b^4+4a^2b^2 - 4 (ab)(a^2-b^2)cos\alpha\rightarrow 2a^2b^2= -2a^2b^2+4a^2b^2 - 4 (ab)(a^2-b^2)cos\alpha \\\
0= -4a^2b^2+4a^2b^2-4a^3bcos\alpha +4ab^3cos\alpha\rightarrow 0= -4ab(a²-b²)cos\alpha[/tex3]

como a e b são diferentes de zero, temos [tex3]a²-b² =0\ ou\ cos\alpha =0[/tex3]

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[tex3]a²-b² =0\ ou\ cos\alpha =0[/tex3]

.
para [tex3]a²-b²=0\ teríamos\ a= \underline+ b ,[/tex3]

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[tex3]a²-b²=0\ teríamos\ a= \underline+ b ,[/tex3]

o que pelo enunciado é falso .
logo : cos [tex3]\alpha[/tex3]

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[tex3]\alpha[/tex3]

=0 [tex3]\rightarrow[/tex3]

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[tex3]\rightarrow[/tex3]

No triângulo teremos: 0<[tex3]\alpha[/tex3]

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[tex3]\alpha[/tex3]

<180 [tex3]\rightarrow\alpha =90^{o}[/tex3]

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[tex3]\rightarrow\alpha =90^{o}[/tex3]

[tex3]\boxed{\Delta ret\hat{a}ngulo}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\Delta ret\hat{a}ngulo}[/tex3]