Pré-Vestibular ⇒ UFES 2012 Função quadrática Tópico resolvido

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(Ufes 2012) Em uma competição de tiro, um alvo é lançado a partir do ponto B e percorre uma trajetória parabólica. Um competidor situado no ponto A atira na direção da reta r e acerta o alvo no ponto P, conforme a figura plana esboçada a seguir.

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a) Sabendo que a distância do competidor ao local do lançamento do alvo é de 24 m e que a altura máxima da trajetória do alvo é de 16 m, determine a equação da parábola que descreve a trajetória do alvo.
b) Sabendo que o competidor atirou formando um ângulo com [tex3]\alpha =30[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha =30[/tex3]

com a horizontal, determine as coordenadas cartesianas do ponto P.

[petras]

raízes: 0 e 24 [tex3]\rightarrow[/tex3]

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[tex3]\rightarrow[/tex3]

y =a(x-r1)(x-r2) => y =a(x-0)(x-24)

(12,16) [tex3]\in y\rightarrow[/tex3]

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[tex3]\in y\rightarrow[/tex3]

16 = a(12-0)(12-24) [tex3]\rightarrow[/tex3]

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[tex3]\rightarrow[/tex3]

16 = 144a [tex3]\rightarrow[/tex3]

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[tex3]\rightarrow[/tex3]

a=[tex3]-\frac{1}{9}[/tex3]

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[tex3]-\frac{1}{9}[/tex3]

y = -[tex3]\frac{1}{9}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{9}[/tex3]

(x)(x-24)=[tex3]\frac{-x^2}{9}+\frac{24x}{9}\rightarrow \boxed{y=\frac{-x^2}{9}+\frac{8x}{3}}(I)[/tex3]

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[tex3]\frac{-x^2}{9}+\frac{24x}{9}\rightarrow \boxed{y=\frac{-x^2}{9}+\frac{8x}{3}}(I)[/tex3]

Equação da reta = [tex3]y=ax+b\rightarrow y=ax+0\rightarrow y=tg 30\ ^{o}x=\frac{\sqrt{3}}{3}x (II)[/tex3]

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[tex3]y=ax+b\rightarrow y=ax+0\rightarrow y=tg 30\ ^{o}x=\frac{\sqrt{3}}{3}x (II)[/tex3]

Ponto de encontro as ordenadas são iguais:

(I) =(II) [tex3]\rightarrow \frac{-x^2}{9}+\frac{8x}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}x[/tex3]

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[tex3]\rightarrow \frac{-x^2}{9}+\frac{8x}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}x[/tex3]

[tex3]-x^2+24x=3\sqrt{3}x \rightarrow x^2+3\sqrt{3}x-24x=0\rightarrow x(x-24+3\sqrt{3})=0[/tex3]

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[tex3]-x^2+24x=3\sqrt{3}x \rightarrow x^2+3\sqrt{3}x-24x=0\rightarrow x(x-24+3\sqrt{3})=0[/tex3]

[tex3]x=0 \rightarrow y=0\ : x = 24-3\sqrt{3}\rightarrow y=8\sqrt{3}-3[/tex3]

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[tex3]x=0 \rightarrow y=0\ : x = 24-3\sqrt{3}\rightarrow y=8\sqrt{3}-3[/tex3]

[tex3]\boxed{P(0,0),(24-3\sqrt{3},8\sqrt{3}-3)}[/tex3]

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[tex3]\boxed{P(0,0),(24-3\sqrt{3},8\sqrt{3}-3)}[/tex3]

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raízes: 0 e 24 [tex3]\rightarrow[/tex3]

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[tex3]\rightarrow[/tex3]

y =a(x-r1)(x-r2) => y =a(x-0)(x-24)

(12,16) [tex3]\in y\rightarrow[/tex3]

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[tex3]\in y\rightarrow[/tex3]

16 = a(12-0)(12-24) [tex3]\rightarrow[/tex3]

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[tex3]\rightarrow[/tex3]

16 = 144a [tex3]\rightarrow[/tex3]

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[tex3]\rightarrow[/tex3]

a=[tex3]-\frac{1}{9}[/tex3]

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[tex3]-\frac{1}{9}[/tex3]

y = -[tex3]\frac{1}{9}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{9}[/tex3]

(x)(x-24)=[tex3]\frac{-x^2}{9}+\frac{24x}{9}\rightarrow \boxed{y=\frac{-x^2}{9}+\frac{8x}{3}}(I)[/tex3]

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[tex3]\frac{-x^2}{9}+\frac{24x}{9}\rightarrow \boxed{y=\frac{-x^2}{9}+\frac{8x}{3}}(I)[/tex3]

Equação da reta = [tex3]y=ax+b\rightarrow y=ax+0\rightarrow y=tg 30\ ^{o}x=\frac{\sqrt{3}}{3}x (II)[/tex3]

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[tex3]y=ax+b\rightarrow y=ax+0\rightarrow y=tg 30\ ^{o}x=\frac{\sqrt{3}}{3}x (II)[/tex3]

Ponto de encontro as ordenadas são iguais:

(I) =(II) [tex3]\rightarrow \frac{-x^2}{9}+\frac{8x}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}x[/tex3]

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[tex3]\rightarrow \frac{-x^2}{9}+\frac{8x}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}x[/tex3]

[tex3]-x^2+24x=3\sqrt{3}x \rightarrow x^2+3\sqrt{3}x-24x=0\rightarrow x(x-24+3\sqrt{3})=0[/tex3]

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[tex3]-x^2+24x=3\sqrt{3}x \rightarrow x^2+3\sqrt{3}x-24x=0\rightarrow x(x-24+3\sqrt{3})=0[/tex3]

[tex3]x=0 \rightarrow y=0\ : x = 24-3\sqrt{3}\rightarrow y=8\sqrt{3}-3[/tex3]

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[tex3]x=0 \rightarrow y=0\ : x = 24-3\sqrt{3}\rightarrow y=8\sqrt{3}-3[/tex3]

[tex3]\boxed{P(0,0),(24-3\sqrt{3},8\sqrt{3}-3)}[/tex3]

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[tex3]\boxed{P(0,0),(24-3\sqrt{3},8\sqrt{3}-3)}[/tex3]

Petras,você pode me dizer o porquê de [tex3]y=\tan 30°x[/tex3]

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[tex3]y=\tan 30°x[/tex3]

?Não consegui entender essa parte.

[petras]

O coeficiente angular de uma reta é o mesmo que a tangente do ângulo de inclinação.
y = ax + b --: Lembra como calcular o a?

[tex3]a = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=tg~\alpha [/tex3]

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[tex3]a = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=tg~\alpha [/tex3]