Pré-Vestibular ⇒ (UEFS - 2016) Progressão Aritmética Tópico resolvido

[samuelhaine]

A soma de todos os números inteiros de 1 a 1000 que não são múltiplos de 9 é igual a:

A) 444556
B) 444889
C) 445333
D) 445722
E) 446329

OBS: Existe um padrão para resolver esse tipo de questão?

[VALDECIRTOZZI]

Na verdade, é um problema que envolve PA.

Calculemos quantos termos múltiplos de 9 há entre 1 e 1.000. O primeiro termos é 9 , o últimos é 999 e a razão é 9:

[tex3]a_n=a_1+(n-1) \cdot r[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_n=a_1+(n-1) \cdot r[/tex3]

[tex3]999=9+(n-1) \cdot 9[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]999=9+(n-1) \cdot 9[/tex3]

[tex3]990=9n-9[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]990=9n-9[/tex3]

[tex3]999=9n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]999=9n[/tex3]

[tex3]n=111[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n=111[/tex3]

Calculemos agora a soma desses termos:

[tex3]S_m=\left(\frac{a_1+a_n}{2}\right)\cdot n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_m=\left(\frac{a_1+a_n}{2}\right)\cdot n[/tex3]

[tex3]S_{999}=\left(\frac{9+999}{2}\right) \cdot 111[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_{999}=\left(\frac{9+999}{2}\right) \cdot 111[/tex3]

[tex3]S_{999}=55.944 \,\,\,\,\, (I)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_{999}=55.944 \,\,\,\,\, (I)[/tex3]

Façamos a soma de todos os números entre 1 e 1.000:

[tex3]S_m=\left(\frac{a_1+a_n}{2}\right)\cdot n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_m=\left(\frac{a_1+a_n}{2}\right)\cdot n[/tex3]

[tex3]S_{1.000}=\left(\frac{1+1.000}{2}\right) \cdot 1.000[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_{1.000}=\left(\frac{1+1.000}{2}\right) \cdot 1.000[/tex3]

[tex3]S_{999}=500.500 \,\,\,\,\, (I)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_{999}=500.500 \,\,\,\,\, (I)[/tex3]

Logo, a soma pedida será [tex3]II-I=500.500-55.944=444.556[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]II-I=500.500-55.944=444.556[/tex3]

Espero ter ajudado!

[Angelo12345]

Na verdade existe um padrão. Observe:
A soma dos números de 1 até 10 que não são múltiplos de 9 é 46.
A soma dos números de 1 até 100 que não são múltiplos de 9 é 4456.
A soma dos números de 1 até 1000 que não são múltiplos de 9 é 444556.
A soma dos números de 1 até 10000 que não são múltiplos de 9 é 44445556.