Uma das Soluções do seguinte sistema de equações [tex3]\begin{cases}
\sqrt{\frac{x}{y}}-\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{3}{2} \\
y+yx+x=9
\end{cases}[/tex3]
atende a qual das alternativas?
a: x-y= 3
b: x-y = 2
c: x-y= 1
d: x-y= 0
e: x-y= -1
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Pré-Vestibular ⇒ (FGV-SP) Equação irracional Tópico resolvido
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PabloFelix
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Mar 2017
03
13:57
(FGV-SP) Equação irracional
Editado pela última vez por PabloFelix em 03 Mar 2017, 13:57, em um total de 1 vez.
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Auto Excluído (ID:17092)
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Mar 2017
03
18:30
Re: (FGV-SP) Equação irracional
[tex3]\begin{cases}
\sqrt{\frac{x}{y}}-\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{3}{2} \\
y+yx+x=9
\end{cases}[/tex3]
Vamos trabalhar com a primeira equação, você já viu uma semelhante no outro post. Além disso, eu vou tentar ser o mais conciso possível:
[tex3]\sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{3}{2}[/tex3]
Faça uma substituição do tipo [tex3]t = \sqrt{\frac{x}{y}}[/tex3] . O que nos retorna:
[tex3]t - \frac{1}{t} = \frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]t^2 - \frac{3}{2}t - 1 = 0[/tex3] *(2) => [tex3]2t^2 - 3t - 2 = 0[/tex3]
Sabendo que a condição de existência obriga que tenhamos um valor positivo para t:
[tex3]t = \frac{3 + \sqrt{(-3)^2 - 4\cdot 2 \cdot (-2)}}{2\cdot 2}[/tex3]
[tex3]t = 2[/tex3] (Nota: Você desprezará o valor negativo. O motivo? Você tem uma raiz quadrada associada a t, não é mesmo? Pode pensar no caso de módulo)
Sendo t = 2, então:
[tex3]\sqrt{\frac{x}{y}} = 2 \rightarrow \frac{x}{y} = 4 \rightarrow x = 4y[/tex3] (i)
Opa, nós encontramos um relação entre x e y! Vamos trabalhar com a segunda equação do sistema:
[tex3]y + xy + x = 9 \rightarrow y + y(4y) + 4y = 9 \rightarrow 4y^2 + 5y - 9 = 0[/tex3]
Vamos forçar a barra e utilizar Relações de Girard:
A definição para uma função do segundo grau é:
[tex3]y_1 + y_2 = \frac{-b}{a} \rightarrow a\cdot y_1 + a\cdot y_2 = -b[/tex3]
[tex3]y_1 \cdot y_2 = \frac{c}{a} \rightarrow a\cdot y_1\cdot a \cdot y_2 = ac[/tex3] (Pulei uma etapa, mas creio que dê pra pegar a ideia)
Para nossa função do segundo grau:
[tex3]a\cdot y_1 + a\cdot y_2 = -b[/tex3] => [tex3]4y_1 + 4y_2 = -5[/tex3]
[tex3]a\cdot y_1\cdot a \cdot y_2 = ac[/tex3] => [tex3]4\cdot y_1 \cdot 4\cdot y_2 = 4(-9)[/tex3]
A sua pergunta agora é: Quais são os números que multiplicados por 4 resultam em -5 na soma e ao mesmo tempo em -36 na multiplicação? Na tentativa e erro, eu encontrei: 1 e -9/4 (Olhe para a relação da multiplicação com carinho).
Vamos tomar y = 1 e encontrar o x na relação (i):
[tex3]x = 4y \rightarrow x = 4\cdot 1 \rightarrow x = 4[/tex3]
Vamos tomar y = -9/4 e conferir também, pois menos com menos na raiz dará mais e não seria motivo de uma violação de condição de existência:
[tex3]x = 4y \rightarrow x = 4\cdot \frac{-9}{4} \rightarrow x = -9[/tex3]
Sabemos que x = 4 e y = 1 ou x = -9 e y = -9/4, só olhar as alternativas e verificar que a letra A é a resposta.
\sqrt{\frac{x}{y}}-\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{3}{2} \\
y+yx+x=9
\end{cases}[/tex3]
Vamos trabalhar com a primeira equação, você já viu uma semelhante no outro post. Além disso, eu vou tentar ser o mais conciso possível:
[tex3]\sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{3}{2}[/tex3]
Faça uma substituição do tipo [tex3]t = \sqrt{\frac{x}{y}}[/tex3] . O que nos retorna:
[tex3]t - \frac{1}{t} = \frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]t^2 - \frac{3}{2}t - 1 = 0[/tex3] *(2) => [tex3]2t^2 - 3t - 2 = 0[/tex3]
Sabendo que a condição de existência obriga que tenhamos um valor positivo para t:
[tex3]t = \frac{3 + \sqrt{(-3)^2 - 4\cdot 2 \cdot (-2)}}{2\cdot 2}[/tex3]
[tex3]t = 2[/tex3] (Nota: Você desprezará o valor negativo. O motivo? Você tem uma raiz quadrada associada a t, não é mesmo? Pode pensar no caso de módulo)
Sendo t = 2, então:
[tex3]\sqrt{\frac{x}{y}} = 2 \rightarrow \frac{x}{y} = 4 \rightarrow x = 4y[/tex3] (i)
Opa, nós encontramos um relação entre x e y! Vamos trabalhar com a segunda equação do sistema:
[tex3]y + xy + x = 9 \rightarrow y + y(4y) + 4y = 9 \rightarrow 4y^2 + 5y - 9 = 0[/tex3]
Vamos forçar a barra e utilizar Relações de Girard:
A definição para uma função do segundo grau é:
[tex3]y_1 + y_2 = \frac{-b}{a} \rightarrow a\cdot y_1 + a\cdot y_2 = -b[/tex3]
[tex3]y_1 \cdot y_2 = \frac{c}{a} \rightarrow a\cdot y_1\cdot a \cdot y_2 = ac[/tex3] (Pulei uma etapa, mas creio que dê pra pegar a ideia)
Para nossa função do segundo grau:
[tex3]a\cdot y_1 + a\cdot y_2 = -b[/tex3] => [tex3]4y_1 + 4y_2 = -5[/tex3]
[tex3]a\cdot y_1\cdot a \cdot y_2 = ac[/tex3] => [tex3]4\cdot y_1 \cdot 4\cdot y_2 = 4(-9)[/tex3]
A sua pergunta agora é: Quais são os números que multiplicados por 4 resultam em -5 na soma e ao mesmo tempo em -36 na multiplicação? Na tentativa e erro, eu encontrei: 1 e -9/4 (Olhe para a relação da multiplicação com carinho).
Vamos tomar y = 1 e encontrar o x na relação (i):
[tex3]x = 4y \rightarrow x = 4\cdot 1 \rightarrow x = 4[/tex3]
Vamos tomar y = -9/4 e conferir também, pois menos com menos na raiz dará mais e não seria motivo de uma violação de condição de existência:
[tex3]x = 4y \rightarrow x = 4\cdot \frac{-9}{4} \rightarrow x = -9[/tex3]
Sabemos que x = 4 e y = 1 ou x = -9 e y = -9/4, só olhar as alternativas e verificar que a letra A é a resposta.
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:17092) em 03 Mar 2017, 18:30, em um total de 5 vezes.
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PabloFelix
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Mar 2017
03
19:48
Re: (FGV-SP) Equação irracional
Ótima Solução, mas na parte das relações de Girard. nesse caso, era mais simples resolver por Bhaskara, pelo menos pra mim foi hehe
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