Pré-Vestibular(FGV-SP) Equação irracional Tópico resolvido

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PabloFelix
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(FGV-SP) Equação irracional

Mensagem não lida por PabloFelix »

Uma das Soluções do seguinte sistema de equações [tex3]\begin{cases}
\sqrt{\frac{x}{y}}-\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{3}{2} \\
y+yx+x=9
\end{cases}[/tex3] atende a qual das alternativas?
a: x-y= 3
b: x-y = 2
c: x-y= 1
d: x-y= 0
e: x-y= -1

Última edição: PabloFelix (Sex 03 Mar, 2017 13:57). Total de 1 vez.



Auto Excluído (ID:17092)
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Re: (FGV-SP) Equação irracional

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17092) »

[tex3]\begin{cases}
\sqrt{\frac{x}{y}}-\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{3}{2} \\
y+yx+x=9
\end{cases}[/tex3]
Vamos trabalhar com a primeira equação, você já viu uma semelhante no outro post. Além disso, eu vou tentar ser o mais conciso possível:
[tex3]\sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{3}{2}[/tex3]
Faça uma substituição do tipo [tex3]t = \sqrt{\frac{x}{y}}[/tex3] . O que nos retorna:
[tex3]t - \frac{1}{t} = \frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]t^2 - \frac{3}{2}t - 1 = 0[/tex3] *(2) => [tex3]2t^2 - 3t - 2 = 0[/tex3]
Sabendo que a condição de existência obriga que tenhamos um valor positivo para t:
[tex3]t = \frac{3 + \sqrt{(-3)^2 - 4\cdot 2 \cdot (-2)}}{2\cdot 2}[/tex3]
[tex3]t = 2[/tex3] (Nota: Você desprezará o valor negativo. O motivo? Você tem uma raiz quadrada associada a t, não é mesmo? Pode pensar no caso de módulo)
Sendo t = 2, então:
[tex3]\sqrt{\frac{x}{y}} = 2 \rightarrow \frac{x}{y} = 4 \rightarrow x = 4y[/tex3] (i)
Opa, nós encontramos um relação entre x e y! Vamos trabalhar com a segunda equação do sistema:
[tex3]y + xy + x = 9 \rightarrow y + y(4y) + 4y = 9 \rightarrow 4y^2 + 5y - 9 = 0[/tex3]
Vamos forçar a barra e utilizar Relações de Girard:
A definição para uma função do segundo grau é:
[tex3]y_1 + y_2 = \frac{-b}{a} \rightarrow a\cdot y_1 + a\cdot y_2 = -b[/tex3]
[tex3]y_1 \cdot y_2 = \frac{c}{a} \rightarrow a\cdot y_1\cdot a \cdot y_2 = ac[/tex3] (Pulei uma etapa, mas creio que dê pra pegar a ideia)
Para nossa função do segundo grau:
[tex3]a\cdot y_1 + a\cdot y_2 = -b[/tex3] => [tex3]4y_1 + 4y_2 = -5[/tex3]
[tex3]a\cdot y_1\cdot a \cdot y_2 = ac[/tex3] => [tex3]4\cdot y_1 \cdot 4\cdot y_2 = 4(-9)[/tex3]
A sua pergunta agora é: Quais são os números que multiplicados por 4 resultam em -5 na soma e ao mesmo tempo em -36 na multiplicação? Na tentativa e erro, eu encontrei: 1 e -9/4 (Olhe para a relação da multiplicação com carinho).
Vamos tomar y = 1 e encontrar o x na relação (i):
[tex3]x = 4y \rightarrow x = 4\cdot 1 \rightarrow x = 4[/tex3]
Vamos tomar y = -9/4 e conferir também, pois menos com menos na raiz dará mais e não seria motivo de uma violação de condição de existência:
[tex3]x = 4y \rightarrow x = 4\cdot \frac{-9}{4} \rightarrow x = -9[/tex3]
Sabemos que x = 4 e y = 1 ou x = -9 e y = -9/4, só olhar as alternativas e verificar que a letra A é a resposta.

Última edição: Auto Excluído (ID:17092) (Sex 03 Mar, 2017 18:30). Total de 5 vezes.



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PabloFelix
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Re: (FGV-SP) Equação irracional

Mensagem não lida por PabloFelix »

Ótima Solução, mas na parte das relações de Girard. nesse caso, era mais simples resolver por Bhaskara, pelo menos pra mim foi hehe




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