Pré-Vestibular ⇒ (UFPA) Equação Logarítmica - População Tópico resolvido

[ismaelmat]

As populações A e B de duas cidades são determinadas em milhar de habitantes pelas funções:

A(t) = log₄ (2 + t)⁵ e B(t) = log₂(2t + 4)², nas quais a variável t representa o tempo em ano. Essas cidades terão o mesmo número de habitantes no ano t, que é igual a:

a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14

Resposta

---

Gabarito: E

[Rafa2604]

As populações A e B de duas cidades são determinadas em milhar de habitantes pelas funções:
[tex3]A(t) = log_4 (2 + t)^5[/tex3]

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[tex3]A(t) = log_4 (2 + t)^5[/tex3]

e [tex3]B(t) = log_2(2t + 4)^2[/tex3]

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[tex3]B(t) = log_2(2t + 4)^2[/tex3]

, nas quais a variável t representa o tempo em ano.
Essas cidades terão o mesmo número de habitantes no ano t, que é igual a:

_____
Essas cidades terão o mesmo número de habitantes quando: [tex3]A(t) = B(t)[/tex3]

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[tex3]A(t) = B(t)[/tex3]

.
Portanto, temos que:

[tex3]log_4(2+t)^5 = log_2(2t+4)^2[/tex3]

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[tex3]log_4(2+t)^5 = log_2(2t+4)^2[/tex3]

[tex3]5\cdot log_4(2+t) = 2 \cdot log_2(2t+4)[/tex3]

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[tex3]5\cdot log_4(2+t) = 2 \cdot log_2(2t+4)[/tex3]

Fazendo mudança de base, temos:

[tex3]5 \cdot \frac{log_2 (2+t) }{log_2(4)} = 2 \cdot log_2 (2t+4)[/tex3]

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[tex3]5 \cdot \frac{log_2 (2+t) }{log_2(4)} = 2 \cdot log_2 (2t+4)[/tex3]

[tex3]5 \cdot \frac{log_2 (2+t) }{log_2(2^2)} = 2 \cdot log_2 (2t+4)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5 \cdot \frac{log_2 (2+t) }{log_2(2^2)} = 2 \cdot log_2 (2t+4)[/tex3]

[tex3]\frac{5}{2} \cdot \frac{log_2 (2+t) }{log_2(2)} = 2 \cdot log_2 (2t+4)[/tex3]

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[tex3]\frac{5}{2} \cdot \frac{log_2 (2+t) }{log_2(2)} = 2 \cdot log_2 (2t+4)[/tex3]

[tex3]\frac{5}{2} \cdot \frac{log_2 (2+t) }{1} = 2 \cdot log_2 (2t+4)[/tex3]

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[tex3]\frac{5}{2} \cdot \frac{log_2 (2+t) }{1} = 2 \cdot log_2 (2t+4)[/tex3]

[tex3]\frac{5}{2} \cdot log_2 (2+t) = 2 \cdot log_2 (2t+4)[/tex3]

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[tex3]\frac{5}{2} \cdot log_2 (2+t) = 2 \cdot log_2 (2t+4)[/tex3]

[tex3]\frac{5}{4} = \frac{log_2 (2t+4)}{log_2 (2+t)}[/tex3]

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[tex3]\frac{5}{4} = \frac{log_2 (2t+4)}{log_2 (2+t)}[/tex3]

Portanto, temos que:

[tex3]log_2 (2t+4) = 5 \;\; \rightarrow \;\; 2^5 = 2t +4 \;\; \rightarrow \;\; 32 = 2t + 4 \;\; \rightarrow \;\; 2t = 28 \;\; \rightarrow \;\; t= 14[/tex3]

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[tex3]log_2 (2t+4) = 5 \;\; \rightarrow \;\; 2^5 = 2t +4 \;\; \rightarrow \;\; 32 = 2t + 4 \;\; \rightarrow \;\; 2t = 28 \;\; \rightarrow \;\; t= 14[/tex3]

[tex3]log_2 (2+t) = 4 \;\; \rightarrow \;\; 2^4 = 2+t \;\; \rightarrow \;\; 16 = 2+t \;\; \rightarrow \;\; t= 14[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]log_2 (2+t) = 4 \;\; \rightarrow \;\; 2^4 = 2+t \;\; \rightarrow \;\; 16 = 2+t \;\; \rightarrow \;\; t= 14[/tex3]

Logo, essas cidades terão o mesmo número de habitantes no ano t = 14 anos.