Pré-Vestibular ⇒ (UnB) Equação Logarítmica

[ismaelmat]

A disseminação de uma doença infecciosa em determinada população de 30.000 frangos em uma granja pode ser descrita pela equação:

P(t) = (11480)/(1 + 3^{4 - t})

em que t é o número de dias decorridos desde a detecção da doença, que é definido como o momento do aparecimento dos primeiros casos (t = 0) e P(t) é a quantidade total de frangos infectados após t dias. Com base nessas informações, classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação a seguir.

II. Caso a doença não seja controlada, toda a população de frangos da granja será infectada.

Gabarito: F (Gostaria de Saber o porquê? essa eu não faço nem ideia!)

III. 4100 frangos serão infectados decorridos 2 + log₃ 5 dias do momento da detecção da doença.

Gabarito: V

[PedroCunha]

Boa noite!

II

Observe:

[tex3]P(t) = 30000 \therefore \frac{11480}{1+3^{4-t}} = 30000 \therefore 1 + 3^{4-t} = 0,382 \therefore 3^{4-t} = -0,617[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(t) = 30000 \therefore \frac{11480}{1+3^{4-t}} = 30000 \therefore 1 + 3^{4-t} = 0,382 \therefore 3^{4-t} = -0,617[/tex3]

O que é impossível, uma vez que [tex3]3^{4-t} > 0, \forall \,\, t \in \mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3^{4-t} > 0, \forall \,\, t \in \mathbb{R}[/tex3]

Logo a população toda da granja nunca será infectada.

III

Da mesma maneira:

[tex3]P(t) = 4100 \therefore \frac{11480}{1+3^{4-t}} = 4100 \therefore 1+3^{4-t} = 2,8 \therefore 3^{4-t} = 1,8 \therefore 3^{4-t} = \frac{9}{5} \therefore \log 3^{4-t} = \log \left( \frac{9}{5} \right) \therefore \\\\ (4-t) \cdot \log 3 = \log 9 -\log 5 \therefore 4-t = \frac{2\log 3}{\log 3} - \frac{\log 5}{\log 3} \therefore t = 2 + \frac{\frac{\log_3 5}{\log_3 10}}{\frac{\log_3 3}{\log_3 10}} \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ t = 2 + \log_3 5 }}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(t) = 4100 \therefore \frac{11480}{1+3^{4-t}} = 4100 \therefore 1+3^{4-t} = 2,8 \therefore 3^{4-t} = 1,8 \therefore 3^{4-t} = \frac{9}{5} \therefore \log 3^{4-t} = \log \left( \frac{9}{5} \right) \therefore \\\\ (4-t) \cdot \log 3 = \log 9 -\log 5 \therefore 4-t = \frac{2\log 3}{\log 3} - \frac{\log 5}{\log 3} \therefore t = 2 + \frac{\frac{\log_3 5}{\log_3 10}}{\frac{\log_3 3}{\log_3 10}} \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ t = 2 + \log_3 5 }}[/tex3]

Abraços,
Pedro.