36.308-Resolva nos [tex3]\mathbb{R}[/tex3]
a)2 log4 (x + 1) - log4 (x2 + 7) = -1
Gabarito: S = {1/3}
:Pré-Vestibular ⇒ Equação Logarítmica - A
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2017
25
19:39
Equação Logarítmica - A
Última edição: ismaelmat (Sáb 25 Fev, 2017 19:39). Total de 1 vez.
Fev 2017
25
20:22
Re: Equação Logarítmica - A
Olá, boa noite.
Lembrando as propriedade:
I) [tex3]\log_{a}b^{\alpha }=\alpha .\log_{a}b[/tex3]
II) [tex3]\log_{a}\left(\frac{u}{v}\right)=\log_{a}u-\log_{a}v[/tex3] .
Temos:
[tex3]2.\log_{4}(x+1)-\log_{4}(x^{2}+7)=-1[/tex3] . Utilizando as propriedades citadas acima, vem:
[tex3]\log_{4}(x+1)^{2}-\log_{4}(x^{2}+7)=-1[/tex3]
[tex3]\log_{4}\left(\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+7}\right)=-1[/tex3] . Agora aplicando a definição de logaritmos, obtemos;
[tex3]\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+7}=4^{-1}[/tex3]
[tex3]x^{2}+2x+1=\frac{1}{4}.(x^{2}+7)[/tex3]
[tex3]x^{2}+2x+1=\frac{x^{2}}{4}+\frac{7}{4}\therefore \frac{3x}{4}^{2}+2x-\frac{3}{4}=0[/tex3] .
[tex3]\Delta =2^{2}-4.\frac{3}{4}.\left(-\frac{3}{4}\right)\therefore \Delta =\frac{25}{4}[/tex3]
[tex3]x^{'}=\frac{-2+\sqrt{\frac{25}{4}}}{2.(\frac{3}{4})}\therefore x^{'}=\frac{-2+\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}}\rightarrow x^{'}=\frac{1}{3}[/tex3] .
Como a outra raiz ([tex3]x^{"}[/tex3] ) é negativa ela não satisfaz a condição de existência para esse problema. Portanto, [tex3]x=\frac{1}{3}[/tex3] é a solução.
Abraços...
Att> rodBR.
Lembrando as propriedade:
I) [tex3]\log_{a}b^{\alpha }=\alpha .\log_{a}b[/tex3]
II) [tex3]\log_{a}\left(\frac{u}{v}\right)=\log_{a}u-\log_{a}v[/tex3] .
Temos:
[tex3]2.\log_{4}(x+1)-\log_{4}(x^{2}+7)=-1[/tex3] . Utilizando as propriedades citadas acima, vem:
[tex3]\log_{4}(x+1)^{2}-\log_{4}(x^{2}+7)=-1[/tex3]
[tex3]\log_{4}\left(\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+7}\right)=-1[/tex3] . Agora aplicando a definição de logaritmos, obtemos;
[tex3]\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+7}=4^{-1}[/tex3]
[tex3]x^{2}+2x+1=\frac{1}{4}.(x^{2}+7)[/tex3]
[tex3]x^{2}+2x+1=\frac{x^{2}}{4}+\frac{7}{4}\therefore \frac{3x}{4}^{2}+2x-\frac{3}{4}=0[/tex3] .
[tex3]\Delta =2^{2}-4.\frac{3}{4}.\left(-\frac{3}{4}\right)\therefore \Delta =\frac{25}{4}[/tex3]
[tex3]x^{'}=\frac{-2+\sqrt{\frac{25}{4}}}{2.(\frac{3}{4})}\therefore x^{'}=\frac{-2+\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}}\rightarrow x^{'}=\frac{1}{3}[/tex3] .
Como a outra raiz ([tex3]x^{"}[/tex3] ) é negativa ela não satisfaz a condição de existência para esse problema. Portanto, [tex3]x=\frac{1}{3}[/tex3] é a solução.
Abraços...
Att> rodBR.
Última edição: rodBR (Sáb 25 Fev, 2017 20:22). Total de 1 vez.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
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