Pré-Vestibular ⇒ Equação Logarítmica - A

[ismaelmat]

36.308-Resolva nos [tex3]\mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathbb{R}[/tex3]

:

a)2 log₄ (x + 1) - log₄ (x² + 7) = -1

Gabarito: S = {1/3}

[rodBR]

Olá, boa noite.

Lembrando as propriedade:
I) [tex3]\log_{a}b^{\alpha }=\alpha .\log_{a}b[/tex3]

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[tex3]\log_{a}b^{\alpha }=\alpha .\log_{a}b[/tex3]

II) [tex3]\log_{a}\left(\frac{u}{v}\right)=\log_{a}u-\log_{a}v[/tex3]

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[tex3]\log_{a}\left(\frac{u}{v}\right)=\log_{a}u-\log_{a}v[/tex3]

.

Temos:
[tex3]2.\log_{4}(x+1)-\log_{4}(x^{2}+7)=-1[/tex3]

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[tex3]2.\log_{4}(x+1)-\log_{4}(x^{2}+7)=-1[/tex3]

. Utilizando as propriedades citadas acima, vem:
[tex3]\log_{4}(x+1)^{2}-\log_{4}(x^{2}+7)=-1[/tex3]

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[tex3]\log_{4}(x+1)^{2}-\log_{4}(x^{2}+7)=-1[/tex3]

[tex3]\log_{4}\left(\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+7}\right)=-1[/tex3]

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[tex3]\log_{4}\left(\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+7}\right)=-1[/tex3]

. Agora aplicando a definição de logaritmos, obtemos;
[tex3]\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+7}=4^{-1}[/tex3]

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[tex3]\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+7}=4^{-1}[/tex3]

[tex3]x^{2}+2x+1=\frac{1}{4}.(x^{2}+7)[/tex3]

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[tex3]x^{2}+2x+1=\frac{1}{4}.(x^{2}+7)[/tex3]

[tex3]x^{2}+2x+1=\frac{x^{2}}{4}+\frac{7}{4}\therefore \frac{3x}{4}^{2}+2x-\frac{3}{4}=0[/tex3]

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[tex3]x^{2}+2x+1=\frac{x^{2}}{4}+\frac{7}{4}\therefore \frac{3x}{4}^{2}+2x-\frac{3}{4}=0[/tex3]

.

[tex3]\Delta =2^{2}-4.\frac{3}{4}.\left(-\frac{3}{4}\right)\therefore \Delta =\frac{25}{4}[/tex3]

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[tex3]\Delta =2^{2}-4.\frac{3}{4}.\left(-\frac{3}{4}\right)\therefore \Delta =\frac{25}{4}[/tex3]

[tex3]x^{'}=\frac{-2+\sqrt{\frac{25}{4}}}{2.(\frac{3}{4})}\therefore x^{'}=\frac{-2+\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}}\rightarrow x^{'}=\frac{1}{3}[/tex3]

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[tex3]x^{'}=\frac{-2+\sqrt{\frac{25}{4}}}{2.(\frac{3}{4})}\therefore x^{'}=\frac{-2+\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}}\rightarrow x^{'}=\frac{1}{3}[/tex3]

.
Como a outra raiz ([tex3]x^{"}[/tex3]

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[tex3]x^{"}[/tex3]

) é negativa ela não satisfaz a condição de existência para esse problema. Portanto, [tex3]x=\frac{1}{3}[/tex3]

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[tex3]x=\frac{1}{3}[/tex3]

é a solução.

Abraços...
Att> rodBR.