Pré-Vestibular

44.309-(UECE) Seja [tex3]f[/tex3] a função real de variável real definida por [tex3]f(x)=10-\log_2x^4-\log_x16,\ x>0,\ x\neq1[/tex3] e [tex3]x1,\ x2\in\mathbb{R}[/tex3] , tais que [tex3]f(x_1)=f(x_2)=0[/tex3] . O valor de [tex3]x_1x_2[/tex3] é:

a)[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

b)2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

c)3 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

d)4 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

Resposta

D

[tex3]10-\log_2x^4-\log_x16=0[/tex3]

[tex3]10-4\log_2x-\log_x16=0[/tex3]

[tex3]10-\frac{4}{\log_x2}-\log_x16=0[/tex3]

Multiplicando tudo por [tex3]\log_x2[/tex3]

[tex3]10\log_x2-4-\log_x16\cdot\log_x2=0[/tex3]

[tex3]10\log_x2-4-\log_x2^4\cdot\log_x2=0[/tex3]

[tex3]10\log_x2-4-4\cdot\log_x2\cdot\log_x2=0[/tex3]

[tex3]10\log_x2-4-4{\log^2}_x2=0[/tex3]

[tex3]-4{\log^2}_x2+10\log_x2-4=0[/tex3]

Fazendo [tex3]\log_x2[/tex3] igual a [tex3]y[/tex3] ,

[tex3]-4y^2+10y-4=0\rightarrow\begin{cases}y_1=\frac{1}{2}\\y_2=2\end{cases}[/tex3]

[tex3]\log_x2=2\Rightarrow x=\sqrt{2}[/tex3]

[tex3]\log_x2=\frac{1}{2}\Rightarrow x=4[/tex3]

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