Pré-Vestibular(Fuvest) Sistema de Equações Logarítmicas

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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ismaelmat
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(Fuvest) Sistema de Equações Logarítmicas

Mensagem não lida por ismaelmat »

42.309-(Fuvest-SP) Os números reais x e y são soluções do sistema:

[tex3]\begin{cases}2\log_2x-\log_2(y-1)=1\\\log_2(x+4)-\frac{\log_2y}{2}=2\end{cases}[/tex3]

Então, [tex3]7(\sqrt{y}-x)[/tex3] vale:

a)-7

b)-1

c)0

d)1

e)7
Resposta

D

Última edição: ismaelmat (Sex 24 Fev, 2017 14:19). Total de 4 vezes.



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csmarcelo
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Re: Sistema de Equações Logarítmicas - Fuvest

Mensagem não lida por csmarcelo »

[tex3]2\log_2x-\log_2(y-1)=1[/tex3]

[tex3]\log_2x^2-\log_2(y-1)=1[/tex3]

[tex3]\log_2\frac{x^2}{y-1}=1[/tex3]

[tex3]\frac{x^2}{y-1}=2^1[/tex3]

[tex3]x^2=2y-2\ (I)[/tex3]

---------------------------------------

[tex3]\log_2(x+4)-\frac{\log_2y}{2}=2[/tex3]

[tex3]\log_2(x+4)-\log_2\sqrt{y}=2[/tex3]

[tex3]\log_2\frac{x+4}{\sqrt{y}}=2[/tex3]

[tex3]\frac{x+4}{\sqrt{y}}=2^2[/tex3]

[tex3]x+4=4\sqrt{y}\ (II)[/tex3]

---------------------------------------

[tex3]\begin{cases}x^2=2y-2\ (I)\\x+4=4\sqrt{y}\ (II)\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}\frac{x^2+2}{2}=y\\\frac{x^2+8x+16}{16}=y\end{cases}[/tex3]

[tex3]\frac{x^2+2}{2}=\frac{x^2+8x+16}{16}[/tex3]

[tex3]16x^2+32=2x^2+16x+32[/tex3]

[tex3]x(7x-8)=0\rightarrow\begin{cases}\cancel{x_1=0}\\x_2=\frac{8}{7}\end{cases}[/tex3]

Logo,

[tex3]y=\frac{\left(\frac{8}{7}\right)^2+2}{2}=\frac{81}{49}[/tex3]

Portanto,

[tex3]7(\sqrt{y}-x)=7\left(\sqrt{\frac{81}{49}}-\frac{8}{7}\right)=1[/tex3]

Última edição: csmarcelo (Sex 24 Fev, 2017 19:21). Total de 2 vezes.



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