Pré-Vestibular ⇒ Equação Logarítmica - Fuvest

[ismaelmat]

40.308-(Fuvest-SP) O número real a é o menor dentre os valores de x que satisfazem a equação

2 log₂ (1 + [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

x) - log₂ ([tex3]\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

x) = 3.

Então, log₂[(2a + 4)/3] é igual a:

a)1/4

b)1/2

c)1

d)3/2

e)2

Gabarito: B

[LucasPinafi]

[tex3]2\log_2 ( 1 + \sqrt 2 x ) - \log_2 ( \sqrt 2 x) = 3 \therefore \log_2 ( 1+ \sqrt 2 x )^2 - \log_2 (\sqrt 2 x ) = 3 \\ \log_2 \frac{(1+\sqrt 2 x)^2}{\sqrt 2 x}=3\therefore \frac{(1+\sqrt 2 x)^2}{\sqrt 2 x} = 2^3 \therefore (1 + \sqrt 2 x )^2 = 8 \sqrt 2 x \\ 1 + 2 \sqrt 2 x + 2 x^2 = 8 \sqrt 2 x \\ 2x^2 - 6 \sqrt 2x +1 = 0 \therefore x = \frac{6\sqrt 2 \pm \sqrt{72 - 8}}{4} = \frac{6\sqrt 2 \pm 8 }{4} = \frac{3 \sqrt 2}{2} \pm 2 \Longrightarrow a = \frac{3 \sqrt 2}{2} - 2 \\ I = \log_2 \left( \frac{2a + 4}{3}\right)= \log_2 \left(\frac{3\sqrt 2 +4 - 4}{3}\right) = \log_2 \sqrt 2 = \log_2 2^{\frac 1 2} = \frac 1 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\log_2 ( 1 + \sqrt 2 x ) - \log_2 ( \sqrt 2 x) = 3 \therefore \log_2 ( 1+ \sqrt 2 x )^2 - \log_2 (\sqrt 2 x ) = 3 \\ \log_2 \frac{(1+\sqrt 2 x)^2}{\sqrt 2 x}=3\therefore \frac{(1+\sqrt 2 x)^2}{\sqrt 2 x} = 2^3 \therefore (1 + \sqrt 2 x )^2 = 8 \sqrt 2 x \\ 1 + 2 \sqrt 2 x + 2 x^2 = 8 \sqrt 2 x \\ 2x^2 - 6 \sqrt 2x +1 = 0 \therefore x = \frac{6\sqrt 2 \pm \sqrt{72 - 8}}{4} = \frac{6\sqrt 2 \pm 8 }{4} = \frac{3 \sqrt 2}{2} \pm 2 \Longrightarrow a = \frac{3 \sqrt 2}{2} - 2 \\ I = \log_2 \left( \frac{2a + 4}{3}\right)= \log_2 \left(\frac{3\sqrt 2 +4 - 4}{3}\right) = \log_2 \sqrt 2 = \log_2 2^{\frac 1 2} = \frac 1 2[/tex3]