Pré-Vestibular ⇒ PUC - Polinômio

[Jhonatan]

(PUC-SP) Calcule os valores de a e b para que o polinômio p(x) = x³ + ax + b seja divisível por g(x) = (x - 1)².

R:
a = -3
b = 2

Pessoal, poderiam me ajudar em mais essa de polinômio ?

[LucasPinafi]

x = 1 deve ser raiz dupla de p(x). Assim, p(1) = 0 e p'(1) = 0 onde p' é a derivada de p.
p(1) = 1 + a + b = 0 => a + b = - 1
p'(x) = 3x² + a => p'(1) = 3 + a = 0 = > a = - 3.
Assim, -3 + b = -1 => b = 2.

[Jhonatan]

Pedro, muito obrigado pela ajuda. Quando fui fazer, tava conseguindo a = 1 e b = 0.
Não entendi a parte que diz que "p'(x) = 3x² + a".
Poderia me explicar, por favor ?

[Radius]

Se p(x) é divisível por (x-1)^2, então podemos escrever:

[tex3]p(x)=q(x)\cdot (x-1)^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)=q(x)\cdot (x-1)^2[/tex3]

onde q(x) é no máximo um polinômio de primeiro grau; Então seja

[tex3]q(x)=mx+n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]q(x)=mx+n[/tex3]

teremos

[tex3]p(x)=(mx+n)\cdot (x-1)^2=mx^3+(n-2m)x^2+(m-2n)x+n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)=(mx+n)\cdot (x-1)^2=mx^3+(n-2m)x^2+(m-2n)x+n[/tex3]

comparando com

[tex3]p(x)=x^3+ax+b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)=x^3+ax+b[/tex3]

temos o sistema:

[tex3]\begin{cases}
m=1 \\
n-2m=0 \\
a=m-2n \\
b=n
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
m=1 \\
n-2m=0 \\
a=m-2n \\
b=n
\end{cases}[/tex3]

donde facilmente tiramos [tex3]a=-3, \,\,\,\, b=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=-3, \,\,\,\, b=2[/tex3]

[Jhonatan]

Resolução perfeita. Idem a explicação.
Muito obrigado pelo seu tempo, Radius. Entendi perfeitamente.