Pré-Vestibular

Mensagem não lidapor **felipef** » Seg 30 Jan, 2017 17:39

Como resolvo esse sistema de forma matricial?

FUVEST (2003)
O sistema [tex3]\begin{cases}x + (c + 1)y = 0 \\ cx + y = -1\end{cases}[/tex3] onde [tex3]c\ne0[/tex3] , admite uma solução [tex3](x,\,y)[/tex3] com [tex3]x = 1[/tex3] . Então, o valor de [tex3]c[/tex3] é:

a) −3
b) −2
c) −1
d) 1
e) 2

Mensagem não lidapor **caju** » Seg 30 Jan, 2017 18:14 · Mensagem não lida por **caju** » Seg 30 Jan, 2017 18:14

Olá felipef,

Para o sistema [tex3]\begin{cases}x + (c + 1)y = 0 \\ cx + y = -1\end{cases}[/tex3] , temos que as matrizes da regra de Cramer são:

[tex3]\Delta =\begin{vmatrix}1 & c+1 \\ c & 1 \\ \end{vmatrix}=1-c(c+1)[/tex3]

[tex3]\Delta_x =\begin{vmatrix}0 & c+1 \\ -1 & 1 \\ \end{vmatrix}=c+1[/tex3]

Já que o valor de [tex3]x[/tex3] é dado ([tex3]x=1[/tex3] ), vamos igualar [tex3]\frac{\Delta_x}{\Delta}[/tex3] a [tex3]1[/tex3] :

[tex3]\frac{\Delta _x}{\Delta }=1\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,=\frac{c+1}{1-c(c+1)}=1\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,c^2+2c=0\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\xcancel{\boxed{c=0}}\,\,\,\,\,\,\,\boxed{\boxed{c=-2}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

Vou apresentar uma outra forma de resolução, sem utilizar matrizes:

[tex3]\begin{cases}x + (c + 1)y = 0 \\ cx + y = -1\end{cases}[/tex3]
[tex3]c \neq 0 \;\; \text{e} \;\; x = 1[/tex3]

Como temos que [tex3]x=1[/tex3] , então:

[tex3]\begin{cases}1 + (c + 1)y = 0 \\ c + y = -1\end{cases} \;\;\; \rightarrow \;\;\; \begin{cases}(c + 1)y = -1 \\ c + y = -1\end{cases}[/tex3]

Podemos então igualar as duas primeiras partes das igualdades, pois ambas são iguais ao mesmo valor [tex3]-1[/tex3] .
Logo, temos que:

[tex3](c+1)y = c+y \;\; \rightarrow \;\; cy + y = c +y \;\; \rightarrow \;\; cy = c \;\; \rightarrow \;\; c(y-1) = 0 \;\; \rightarrow \;\; c = 0 \;\; \text{ou} \;\; y - 1 = 0[/tex3]
Como sabemos que [tex3]c \neq 0[/tex3] , então temos que: [tex3]y - 1 = 0 \;\; \rightarrow \;\; y = 1[/tex3]

Substituindo em uma das equações, temos:
[tex3]c + y = -1 \;\; \rightarrow \;\; c = -1 -y \;\; \rightarrow \;\; c = -1 -1 = -2 \;\; \rightarrow \;\;\; c = -2[/tex3]

Mensagem não lidapor **felipef** » Seg 30 Jan, 2017 18:36

MUITO obrigado!

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