Caju,
Eu resolvi esse problema, ainda de manhã, de uma forma diferente, mas só estou tendo a oportunidade de postar agora.
Como sou mais curioso do que qualquer outra coisa, vira e mexe eu me esqueço das resoluções tradicionais e "invento moda".
Sua solução é bem mais prática/direta, mas vou postar só para não ficar com o sentimento de raciocínio jogado fora.
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Toda circunferência pode ser escrita na forma [tex3](x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2[/tex3]
, onde:
1) [tex3](x_c,y_c)[/tex3]
são as coordenadas do centro da circunferência.
2) [tex3]r[/tex3]
é o raio da circunferência.
Então a primeira coisa que fiz foi fazer [tex3]k=a^2+b^2-q[/tex3]
, onde:
1) [tex3]a^2[/tex3]
corresponde ao valor necessário para completar o quadrado em função de [tex3]x[/tex3]
.
2) [tex3]b^2[/tex3]
corresponde ao valor necessário para completar o quadrado em função de [tex3]y[/tex3]
.
Temos, assim,
[tex3](5x^2-20x+a^2)+(5^y-10y+b^2)=q[/tex3]
Descobrindo [tex3]a[/tex3]
e [tex3]b[/tex3]
:
[tex3]2\cdot\sqrt{5}x\cdot a=20x\Rightarrow a=2\sqrt{5}[/tex3]
[tex3]2\cdot\sqrt{5}y\cdot b=10y\Rightarrow b=\sqrt{5}[/tex3]
Com isso,
[tex3](\sqrt{5}x-2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5}y-\sqrt{5})^2=q[/tex3]
Isolando [tex3]\sqrt{5}[/tex3]
e desenvolvendo um pouco,
[tex3](x-2)^2+(y-1)^2=\frac{q}{5}[/tex3]
Com equação do jeito que está sabemos que o centro da circunferência encontra-se nas coordenadas [tex3](2,1)[/tex3]
.
Calculando a distância desse ponto à reta do enunciado, encontraremos o raio e assim conseguiremos o valor de [tex3]q[/tex3]
, que é o que falta para determinarmos [tex3]k[/tex3]
.
Equação da reta: [tex3]-\frac{1}{2}x-y+1=0[/tex3]
Distância entre o centro da circunferência e a reta: [tex3]\frac{\mid 2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+1\cdot(-1)+1\mid}{\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2+(-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{5}{4}}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}[/tex3]
Da equação da circunferência temos que [tex3]\frac{q}{5}=r^2[/tex3]
.
Substituindo [tex3]r[/tex3]
[tex3]\frac{q}{5}=\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2\Rightarrow q=4[/tex3]
Portanto,
[tex3]k=\left(2\sqrt{5}\right)^2+\sqrt{5}^2-4=21[/tex3]
