Pré-Vestibular ⇒ (UF-PI) Equação Irracional Tópico resolvido

[paulojorge]

Sejam x e y n números inteiros e positivoso que satisfazem à euação:

[tex3]\sqrt{x+\frac{1}{2}\sqrt{y}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{x+\frac{1}{2}\sqrt{y}}[/tex3]

_[tex3]\sqrt{x-\frac{1}{2}\sqrt{y}}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{x-\frac{1}{2}\sqrt{y}}=1[/tex3]

um possível valor para o número y é:

a) 1 b) 2 c) 3 d)4 e)5

Resposta

---

c

[LucasPinafi]

Elevando ao quadrado,
[tex3]\left(\sqrt{x+ \frac 1 2 \sqrt y } - \sqrt{x- \frac 1 2 \sqrt y} \right)^2 = 1 \\ x+ \frac 1 2 \sqrt y - 2 \sqrt{\left(x+ \frac 1 2\sqrt y \right) \left(x- \frac 1 2 \sqrt y \right)} + x - \frac 1 2 \sqrt y = 1 \\ 2x - 2 \sqrt{x^2 - \frac 1 4 y} = 1 \\ 2x - \sqrt{4x^2 - y} = 1 \\ (2x-1)^2 = 4x^2 - y \therefore 4x^2 - 4x + 1 = 4x^2 - y \therefore y = 4x -1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\sqrt{x+ \frac 1 2 \sqrt y } - \sqrt{x- \frac 1 2 \sqrt y} \right)^2 = 1 \\ x+ \frac 1 2 \sqrt y - 2 \sqrt{\left(x+ \frac 1 2\sqrt y \right) \left(x- \frac 1 2 \sqrt y \right)} + x - \frac 1 2 \sqrt y = 1 \\ 2x - 2 \sqrt{x^2 - \frac 1 4 y} = 1 \\ 2x - \sqrt{4x^2 - y} = 1 \\ (2x-1)^2 = 4x^2 - y \therefore 4x^2 - 4x + 1 = 4x^2 - y \therefore y = 4x -1[/tex3]

Agota, tome valores para [tex3]x\in \mathbb N[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\in \mathbb N[/tex3]

:
[tex3]x = 1 \Longrightarrow y = 3 \\ x = 2 \Longrightarrow y = 7 \\ \vdots[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = 1 \Longrightarrow y = 3 \\ x = 2 \Longrightarrow y = 7 \\ \vdots[/tex3]

Dentre as alternativas, temos que y = 3.

[paulojorge]

Muito obrigado Lucas ! valeu mesmo