Pré-Vestibular ⇒ (UDESC - 2017) Área Tópico resolvido

[MORANGA]

Uma maneira de calcular, aproximadamente, a área de uma região abaixo do gráfico de uma função é inscrever retângulos de bases iguais nesta região, de modo que a base dos retângulos esteja sobre o eixo

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[tex3]x[/tex3]

e um dos vértices de cada retângulo sobre o gráfico da função. Usando esta técnica, quanto maior for o número de retângulos melhor será a aproximação da área da região abaixo do gráfico da função. A Figura 1 é um exemplo do uso desta técnica para calcular, aproximadamente, a área abaixo do gráfico da função

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[tex3]f(x)= x>2[/tex3]

Então determine a área da função

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[tex3]g(x)= \frac{x^2}{4}+x+1[/tex3]

no intervalo

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[tex3][0,\,10][/tex3]

, usando cinco retângulos será de:

Resposta

---

resposta é 110 u.a.

Obs; Não poderia usar o cálculo de integral definida para essa função

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[tex3]g(x)[/tex3]

, pois, está definida entre os intervalos

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[tex3](0,\,10)[/tex3]

, mas não estou encontrando essa resposta.

[Rafa2604]

Determine a área de

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[tex3]g(x) = \frac{x^2}{4} + x + 1 \;\;\;,\;\;\; I = [0,10][/tex3]

utilizando 5 retângulos:

Como o intervalo é I = [0, 10] e dividiremos em 5 retângulos, então cada subintervalo terá comprimento igual a 2.
Pelo ponto médio temos:

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[tex3]g(1) = \frac{1}{4} + 1 + 1 = \frac{1}{4} + 2 = \frac{1+8}{4} = \frac{9}{4}[/tex3]

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[tex3]g(3) = \frac{9}{4} + 3 + 1 = \frac{9}{4} + 4 = \frac{9+16}{4} = \frac{25}{4}[/tex3]

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[tex3]g(5) = \frac{25}{4} + 5 + 1 = \frac{25}{4} + 6 = \frac{25+24}{4} = \frac{49}{4}[/tex3]

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[tex3]g(7) = \frac{49}{4} + 7 + 1 = \frac{49}{4} + 8 = \frac{49+32}{4} = \frac{81}{4}[/tex3]

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[tex3]g(9) = \frac{81}{4} + 9 + 1 = \frac{81}{4} + 10 = \frac{81+40}{4} = \frac{121}{4}[/tex3]

Que representam a altura de cada retângulo, calculando a área de cada retângulo temos:

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[tex3]A_1 = g(1).2 = \frac{9}{4}.2 = \frac{9}{2}[/tex3]

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[tex3]A_2 = g(3).2 = \frac{25}{4}.2 = \frac{25}{2}[/tex3]

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[tex3]A_3 = g(5).2 = \frac{49}{4}.2 = \frac{49}{2}[/tex3]

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[tex3]A_4 = g(7).2 = \frac{81}{4}.2 = \frac{81}{2}[/tex3]

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[tex3]A_5 = g(9).2 = \frac{121}{4}.2 = \frac{121}{2}[/tex3]

Somando as 5 áreas temos:

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[tex3]A_{total} = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 = \frac{9}{2} + \frac{25}{2} + \frac{49}{2} + \frac{81}{2} + \frac{121}{2} = \frac{285}{2} = 142.5[/tex3]

Comparando com a integral temos:

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[tex3]\int\limits_{0}^{10}\frac{x^2}{4} + x +1 \;dx = \left [ \frac{x^3}{12} + \frac{x^2}{2} + x \right]_0^{10} = \frac{1000}{12} + \frac{100}{2} + 10 = \frac{250}{3} + 50 + 10 = \\\\ = \frac{250}{3} + 60 = \frac{250+180}{3} = \frac{430}{3} = 143.33[/tex3]

[MORANGA]

Agora porque o gabarito está marcando 110 ?

[petras]

Pela solução dada ele não usou o ponto médio.

Usaremos os retângulos:

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[tex3]g(0) = 0 + 0 + 1 = 1 \,\,\rightarrow\,\,S_{1} = 1 \cdot 2 = 2[/tex3]

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[tex3]g(2) = \frac{4}{4} + 2 + 1 = 4 \,\,\rightarrow\,\,S_{2} = 4 \cdot 2 = 8[/tex3]

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[tex3]g(4) =\frac{16}{4} + 4 + 1 = 9 \,\,\rightarrow\,\,S_{3} = 9 \cdot 2 = 18[/tex3]

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[tex3]g(6)=\frac{36}{4} +6 + 1 = 16\,\,\rightarrow\,\,S_{4} = 16 \cdot 2 = 32[/tex3]

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[tex3]g(8) = \frac{64}{4} + 8 + 1 = 25 \,\,\rightarrow\,\,S_{5} = 25 \cdot 2 = 50[/tex3]

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[tex3]S = S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}+S_{5} = 2+8+18+32+50[/tex3]

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[tex3]\\ \ \\\\ \boxed{\mathsf{ S = 110 }}[/tex3]

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[MORANGA]

E caso fosse responder usando o conceito de integral definida, qual seria o limite superior e inferior, pois usando o 8 e zero o resultado não da 110?

[Rafa2604]

E caso fosse responder usando o conceito de integral definida, qual seria o limite superior e inferior, pois usando o 8 e zero o resultado não da 110?

Não dá 110!

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[tex3]\int\limits_{0}^{8}\frac{x^2}{4} + x +1 \;dx = \left [ \frac{x^3}{12} + \frac{x^2}{2} + x \right]_0^{8} = \frac{512}{12} + \frac{64}{2} + 8 = \frac{128}{3} + 32 + 8 = \\\\ = \frac{128}{3} + 40 = \frac{128 +120 }{3} = \frac{248 }{3} = 82.66[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{0}^{9}\frac{x^2}{4} + x +1 \;dx = \left [ \frac{x^3}{12} + \frac{x^2}{2} + x \right]_0^{9} = \frac{729}{12} + \frac{81}{2} + 9 = \frac{243}{4} + \frac{81}{2} + 9 = \\\\ = \frac{243 + 162+36}{4} = \frac{441}{4} = 110.25[/tex3]

A integral definida calcula exatamente qual é área abaixo da curva, sem possíveis erros (de termos área a mais ou a menos) utilizando a repartição por retângulos, como a tua função está definida no intervalo I = [0,10], então ao calcular a integral definida, tu deves utilizar esse intervalo especificado para encontrar a área exata:

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[tex3]\int\limits_{0}^{10}\frac{x^2}{4} + x +1 \;dx = \left [ \frac{x^3}{12} + \frac{x^2}{2} + x \right]_0^{10} = \frac{1000}{12} + \frac{100}{2} + 10 = \frac{250}{3} + 50 + 10 = \\\\ = \frac{250}{3} + 60 = \frac{250+180}{3} = \frac{430}{3} = 143.33[/tex3]