Pré-Vestibular(UDESC - 2017) Área

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
MORANGA
sênior
Mensagens: 28
Registrado em: Sáb 31 Dez, 2016 17:54
Última visita: 11-04-19
Jan 2017 03 13:19

(UDESC - 2017) Área

Mensagem não lida por MORANGA »

Uma maneira de calcular, aproximadamente, a área de uma região abaixo do gráfico de uma função é inscrever retângulos de bases iguais nesta região, de modo que a base dos retângulos esteja sobre o eixo x e um dos vértices de cada retângulo sobre o gráfico da função. Usando esta técnica, quanto maior for o número de retângulos melhor será a aproximação da área da região abaixo do gráfico da função. A Figura 1 é um exemplo do uso desta técnica para calcular, aproximadamente, a área abaixo do gráfico da função f(x)= x>2
Então determine a área da função g(x)= \frac{x^2}{4}+x+1 no intervalo [0,\,10], usando cinco retângulos será de:
Resposta

resposta é 110 u.a.
Obs; Não poderia usar o cálculo de integral definida para essa função g(x), pois, está definida entre os intervalos (0,\,10), mas não estou encontrando essa resposta.

Última edição: MORANGA (Ter 03 Jan, 2017 13:19). Total de 6 vezes.



Avatar do usuário
Rafa2604
2 - Nerd
Mensagens: 351
Registrado em: Qua 13 Jul, 2016 09:32
Última visita: 29-01-18
Agradeceu: 21 vezes
Agradeceram: 135 vezes
Jan 2017 03 14:20

Re: Área- Udesc-2017

Mensagem não lida por Rafa2604 »

Determine a área de g(x) = \frac{x^2}{4} + x + 1 \;\;\;,\;\;\; I = [0,10] utilizando 5 retângulos:

Como o intervalo é I = [0, 10] e dividiremos em 5 retângulos, então cada subintervalo terá comprimento igual a 2.
Pelo ponto médio temos:
g(1) = \frac{1}{4} + 1 + 1 = \frac{1}{4} + 2 = \frac{1+8}{4} = \frac{9}{4}
g(3) = \frac{9}{4} + 3 + 1 = \frac{9}{4} + 4 = \frac{9+16}{4} = \frac{25}{4}
g(5) = \frac{25}{4} + 5 + 1 = \frac{25}{4} + 6 = \frac{25+24}{4} = \frac{49}{4}
g(7) = \frac{49}{4} + 7 + 1 = \frac{49}{4} + 8 = \frac{49+32}{4} = \frac{81}{4}
g(9) = \frac{81}{4} + 9 + 1 = \frac{81}{4} + 10 = \frac{81+40}{4} = \frac{121}{4}

Que representam a altura de cada retângulo, calculando a área de cada retângulo temos:
A_1 = g(1).2 = \frac{9}{4}.2 = \frac{9}{2}
A_2 = g(3).2 = \frac{25}{4}.2 = \frac{25}{2}
A_3 = g(5).2 = \frac{49}{4}.2 = \frac{49}{2}
A_4 = g(7).2 = \frac{81}{4}.2 = \frac{81}{2}
A_5 = g(9).2 = \frac{121}{4}.2 = \frac{121}{2}

Somando as 5 áreas temos:
A_{total} = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 =  \frac{9}{2} +  \frac{25}{2} +  \frac{49}{2} +  \frac{81}{2} +  \frac{121}{2} = \frac{285}{2} = 142.5


Comparando com a integral temos:
\int\limits_{0}^{10}\frac{x^2}{4} + x +1 \;dx = \left [ \frac{x^3}{12} + \frac{x^2}{2} + x \right]_0^{10} = \frac{1000}{12} + \frac{100}{2} + 10 = \frac{250}{3} + 50 + 10 = \\\\ = \frac{250}{3} + 60 = \frac{250+180}{3} = \frac{430}{3} = 143.33

Última edição: Rafa2604 (Ter 03 Jan, 2017 14:20). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
Autor do Tópico
MORANGA
sênior
Mensagens: 28
Registrado em: Sáb 31 Dez, 2016 17:54
Última visita: 11-04-19
Jan 2017 03 23:29

Re: Área- Udesc-2017

Mensagem não lida por MORANGA »

Agora porque o gabarito está marcando 110 ?



Avatar do usuário
petras
6 - Doutor
Mensagens: 2064
Registrado em: Qui 23 Jun, 2016 14:20
Última visita: 09-01-20
Agradeceu: 178 vezes
Agradeceram: 1166 vezes
Jan 2017 04 00:02

Re: Área- Udesc-2017

Mensagem não lida por petras »

Pela solução dada ele não usou o ponto médio.

Usaremos os retângulos:

g(0) = 0 + 0 + 1 = 1 \,\,\rightarrow\,\,S_{1} = 1 \cdot 2 = 2
g(2) = \frac{4}{4} + 2 + 1 = 4 \,\,\rightarrow\,\,S_{2} = 4 \cdot 2 = 8
g(4) =\frac{16}{4} + 4 + 1 = 9 \,\,\rightarrow\,\,S_{3} = 9 \cdot 2 = 18
g(6)=\frac{36}{4} +6 + 1 = 16\,\,\rightarrow\,\,S_{4} = 16 \cdot 2 = 32
g(8) = \frac{64}{4} + 8 + 1 = 25 \,\,\rightarrow\,\,S_{5} = 25 \cdot 2 = 50

S = S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}+S_{5} = 2+8+18+32+50

\\ \ \\\\ \boxed{\mathsf{ S = 110 }}
Sem título.jpg
Sem título.jpg (27.17 KiB) Exibido 2657 vezes
Última edição: petras (Qua 04 Jan, 2017 00:02). Total de 4 vezes.



Avatar do usuário
Autor do Tópico
MORANGA
sênior
Mensagens: 28
Registrado em: Sáb 31 Dez, 2016 17:54
Última visita: 11-04-19
Jan 2017 04 13:54

Re: Área- Udesc-2017

Mensagem não lida por MORANGA »

E caso fosse responder usando o conceito de integral definida, qual seria o limite superior e inferior, pois usando o 8 e zero o resultado não da 110?



Avatar do usuário
Rafa2604
2 - Nerd
Mensagens: 351
Registrado em: Qua 13 Jul, 2016 09:32
Última visita: 29-01-18
Agradeceu: 21 vezes
Agradeceram: 135 vezes
Jan 2017 04 14:32

Re: Área- Udesc-2017

Mensagem não lida por Rafa2604 »

MORANGA escreveu: E caso fosse responder usando o conceito de integral definida, qual seria o limite superior e inferior, pois usando o 8 e zero o resultado não da 110?
Não dá 110!

\int\limits_{0}^{8}\frac{x^2}{4} + x +1 \;dx = \left [ \frac{x^3}{12} + \frac{x^2}{2} + x \right]_0^{8} = \frac{512}{12} + \frac{64}{2} + 8 = \frac{128}{3} + 32 + 8  = \\\\ = \frac{128}{3} + 40 = \frac{128 +120 }{3} = \frac{248 }{3} = 82.66


\int\limits_{0}^{9}\frac{x^2}{4} + x +1 \;dx = \left [ \frac{x^3}{12} + \frac{x^2}{2} + x \right]_0^{9} = \frac{729}{12} + \frac{81}{2} + 9 = \frac{243}{4} + \frac{81}{2} + 9 = \\\\ = \frac{243 + 162+36}{4} = \frac{441}{4} = 110.25


A integral definida calcula exatamente qual é área abaixo da curva, sem possíveis erros (de termos área a mais ou a menos) utilizando a repartição por retângulos, como a tua função está definida no intervalo I = [0,10], então ao calcular a integral definida, tu deves utilizar esse intervalo especificado para encontrar a área exata:

\int\limits_{0}^{10}\frac{x^2}{4} + x +1 \;dx = \left [ \frac{x^3}{12} + \frac{x^2}{2} + x \right]_0^{10} = \frac{1000}{12} + \frac{100}{2} + 10 = \frac{250}{3} + 50 + 10 = \\\\ = \frac{250}{3} + 60 = \frac{250+180}{3} = \frac{430}{3} = 143.33

Última edição: Rafa2604 (Qua 04 Jan, 2017 14:32). Total de 3 vezes.



Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem (UDESC) Pirâmide
    por luisinhocdm » Qua 07 Jun, 2017 09:06 » em Pré-Vestibular
    3 Respostas
    6974 Exibições
    Última msg por 314159265
    Qua 07 Jun, 2017 10:17
  • Nova mensagem (UDESC) Hidrostática
    por Auto Excluído (ID:18124) » Sex 09 Jun, 2017 15:48 » em Física I
    0 Respostas
    476 Exibições
    Última msg por Auto Excluído (ID:18124)
    Sex 09 Jun, 2017 15:48
  • Nova mensagem (UDESC)Dilatometria Sólido
    por Auto Excluído (ID:18124) » Ter 29 Ago, 2017 21:46 » em Física II
    1 Respostas
    985 Exibições
    Última msg por Brunoranery
    Qua 30 Ago, 2017 07:23
  • Nova mensagem (UDESC) - Reações de oxirredução
    por danimedrado » Sex 01 Set, 2017 12:00 » em Química Geral
    1 Respostas
    1170 Exibições
    Última msg por Brunoranery
    Sex 01 Set, 2017 12:26
  • Nova mensagem [UDESC] Geometria
    por Lucabral » Sex 27 Out, 2017 12:44 » em Ensino Médio
    2 Respostas
    2795 Exibições
    Última msg por Lucabral
    Sex 27 Out, 2017 14:53

Voltar para “Pré-Vestibular”