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Mensagem não lidapor **Aurelio** » Qui 08 Dez, 2016 01:25

Determine todos os valores reais dos parâmetros p, q e r em [tex3]P(x) = x^{4} + (p-3)x^{3} +px^{2} +qx + r[/tex3] , para que zero seja raiz dupla e seja também a única raiz real de P(x).

R: q = 0, r = 0 e 1 < p < 9

Sendo $\{0,0,a,b\}$ o conjunto das raízes de P(x), então pelas relações de Girrard:

$\begin{cases} a+b+0+0=3-p \\ a\cdot b+a\cdot 0 + b\cdot 0 + a\cdot 0 + b \cdot 0 + 0 \cdot 0=p \\ a\cdot b \cdot 0 + a\cdot b \cdot 0+a\cdot 0 \cdot 0+0\cdot b \cdot 0=-q \\ a\cdot b \cdot 0 \cdot 0 = r \end{cases}$

Disso já sai que $q = r = 0$

Agora substituindo a segunda equação na primeira:

$a+b = 3 - p$
$a+\frac{p}{a} = 3 - p$
$a^2+p = 3a - pa$
$a^2+a\cdot (-3+p)+ p = 0$
$a = \frac{3-p\pm \sqrt{(-3+p)^2 - 4\cdot 1 \cdot p}}{2}$

Mas a não é real, logo:

$(-3+p)^2 - 4\cdot 1 \cdot p< 0$
$p^2 - 10p+9 < 0$
$1<p < 9$

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