Olá, Comunidade!

Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).

Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero 🙏)

Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!

Vamos crescer essa comunidade juntos 🥰

Grande abraço a todos,
Prof. Caju

Pré-Vestibular ⇒ Problema 10 V Maratona de Matemática IME/ITA

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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fonseca71
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Nov 2016 07 19:00

Problema 10 V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lidapor fonseca71 » 07 Nov 2016, 19:00

Mensagem não lida por fonseca71 »

Solução do Problema 10:
FONSECA.GIF
FONSECA.GIF (4.02 KiB) Exibido 1360 vezes
O quadrado tem lados medindo a
A área S, do problema, é S = a.a => a^2 = S
As coordenadas dos pontos sobre o quadrado são: D(0,0), A(0,a), F(a/2,a), B(a,a), E(a,a/2), C(a,0)
Equação da reta que passa por D e E
y - y_0 = m(x - x_0)
m = \frac{y-y_0}{x-x_0} =\ \frac{a/2 - 0}{a} = \frac{1}{2}
y - 0 = \frac{1}{2}(x - 0 ) => y = \frac{x}{2}\ (R1)

Equação da reta que passa por F e C
m = \frac{y-y_0}{x-x_0} =\ \frac{a - 0}{a - a/2} = \frac{-2a}{a} = -2
y - a = -2(x - \frac{a}{2}) => y = 2a - 2x\ (R2)

Coordenadas do ponto G
R1 = R2 => \frac{x}{2} = 2a - 2x => x = 4a - 4x => x = \frac{4a}{5}
x\ -> R1\ => y = \frac{4a}{5}.\frac{1}{2} => y = \frac{2a}{5}
G(\frac{4a}{5}, \frac{2a}{5})

Equação da reta que passa por D e F
m = \frac{y-y_0}{x-x_0} =\ \frac{a - 0}{a/2 - 0} = \frac{2a}{a} = 2
y - y_0 = m(x - x_0) => y - 0 = 2(x - 0) => y = 2x\ (R3)

Equação da reta que passa por A e E
m = \frac{y-y_0}{x-x_0} =\ \frac{a/2 - a}{a - 0} = \frac{-a}{2a} = -\frac{1}{2}
y - a = -\frac{1}{2}(x - 0) => 2y - 2a = -x => y = a - \frac{x}{2}\ (R4)

Coordenadas do ponto H
R3 = R4 => 2x = a - \frac{x}{2} => 4x = 2a - x => x = \frac{2a}{5}
x\ -> R3\ => y = \frac{4a}{5}
H(\frac{2a}{5}, \frac{4a}{5})

Coordenadas do ponto Z
R2 = R4 => 2a - 2x = a - \frac{x}{2} => 4a - 4x = 2a - x => x = \frac{2a}{3}
x\ -> R2\ => y = \frac{2a}{3}
Z(\frac{2a}{3}, \frac{2a}{3})

Distancia\ \overline{HZ}
\overline {HZ} = \sqrt{(\frac{2a}{3} - \frac{2a}{5})^2 + (\frac{2a}{3} - \frac{4a}{5})^2} = \frac{2a\sqrt{5}}{15}

Distancia\ \overline{DH}
\overline {DH} = \sqrt{(\frac{2a}{5} - 0)^2 + (\frac{4a}{5} - 0)^2} = \frac{2a\sqrt{5}}{5}

Área do triangulo retangulo DHZ - A1
A1 = \frac{1}{2}.\frac{2a\sqrt{5}}{5}.\frac{2a\sqrt{5}}{15} = \frac{10a^2}{75} = \frac{10S}{75}

Distancia\ \overline{ZG}
\overline {ZG} = \sqrt{(\frac{4a}{5} - \frac{2a}{3})^2 + (\frac{2a}{5} - \frac{2a}{3})^2} = \frac{2a\sqrt{5}}{15}

Distancia\ \overline{DG}
\overline {DG} = \sqrt{(\frac{4a}{5} - 0)^2 + (\frac{2a}{5} - 0)^2} = \frac{2a\sqrt{5}}{5}

Área do triangulo retangulo DZG - A2
A1 = \frac{1}{2}.\frac{2a\sqrt{5}}{5}.\frac{2a\sqrt{5}}{15} = \frac{10a^2}{75} = \frac{10S}{75}

Área da superfície hachurada no original - Sh
Sh = A1 + A2 = 2.\frac{10S}{75} = \frac{20S}{75} = \frac{4S}{15}

Resposta: letra C
Editado pela última vez por fonseca71 em 07 Nov 2016, 19:00, em um total de 1 vez.
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