Pré-VestibularProblema 10 V Maratona de Matemática IME/ITA

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fonseca71
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Nov 2016 07 19:00

Problema 10 V Maratona de Matemática IME/ITA

Mensagem não lida por fonseca71 » Seg 07 Nov, 2016 19:00

Solução do Problema 10:
FONSECA.GIF
FONSECA.GIF (4.02 KiB) Exibido 809 vezes
O quadrado tem lados medindo a
A área S, do problema, é S = a.a => a^2 = S
As coordenadas dos pontos sobre o quadrado são: D(0,0), A(0,a), F(a/2,a), B(a,a), E(a,a/2), C(a,0)
Equação da reta que passa por D e E
y - y_0 = m(x - x_0)
m = \frac{y-y_0}{x-x_0} =\ \frac{a/2 - 0}{a} = \frac{1}{2}
y - 0 = \frac{1}{2}(x - 0 ) => y = \frac{x}{2}\ (R1)

Equação da reta que passa por F e C
m = \frac{y-y_0}{x-x_0} =\ \frac{a - 0}{a - a/2} = \frac{-2a}{a} = -2
y - a = -2(x - \frac{a}{2}) => y = 2a - 2x\ (R2)

Coordenadas do ponto G
R1 = R2 => \frac{x}{2} = 2a - 2x => x = 4a - 4x => x = \frac{4a}{5}
x\ -> R1\ => y = \frac{4a}{5}.\frac{1}{2} => y = \frac{2a}{5}
G(\frac{4a}{5}, \frac{2a}{5})

Equação da reta que passa por D e F
m = \frac{y-y_0}{x-x_0} =\ \frac{a - 0}{a/2 - 0} = \frac{2a}{a} = 2
y - y_0 = m(x - x_0) => y - 0 = 2(x - 0) => y = 2x\ (R3)

Equação da reta que passa por A e E
m = \frac{y-y_0}{x-x_0} =\ \frac{a/2 - a}{a - 0} = \frac{-a}{2a} = -\frac{1}{2}
y - a = -\frac{1}{2}(x - 0) => 2y - 2a = -x => y = a - \frac{x}{2}\ (R4)

Coordenadas do ponto H
R3 = R4 => 2x = a - \frac{x}{2} => 4x = 2a - x => x = \frac{2a}{5}
x\ -> R3\ => y = \frac{4a}{5}
H(\frac{2a}{5}, \frac{4a}{5})

Coordenadas do ponto Z
R2 = R4 => 2a - 2x = a - \frac{x}{2} => 4a - 4x = 2a - x => x = \frac{2a}{3}
x\ -> R2\ => y = \frac{2a}{3}
Z(\frac{2a}{3}, \frac{2a}{3})

Distancia\ \overline{HZ}
\overline {HZ} = \sqrt{(\frac{2a}{3} - \frac{2a}{5})^2 + (\frac{2a}{3} - \frac{4a}{5})^2} = \frac{2a\sqrt{5}}{15}

Distancia\ \overline{DH}
\overline {DH} = \sqrt{(\frac{2a}{5} - 0)^2 + (\frac{4a}{5} - 0)^2} = \frac{2a\sqrt{5}}{5}

Área do triangulo retangulo DHZ - A1
A1 = \frac{1}{2}.\frac{2a\sqrt{5}}{5}.\frac{2a\sqrt{5}}{15} = \frac{10a^2}{75} = \frac{10S}{75}

Distancia\ \overline{ZG}
\overline {ZG} = \sqrt{(\frac{4a}{5} - \frac{2a}{3})^2 + (\frac{2a}{5} - \frac{2a}{3})^2} = \frac{2a\sqrt{5}}{15}

Distancia\ \overline{DG}
\overline {DG} = \sqrt{(\frac{4a}{5} - 0)^2 + (\frac{2a}{5} - 0)^2} = \frac{2a\sqrt{5}}{5}

Área do triangulo retangulo DZG - A2
A1 = \frac{1}{2}.\frac{2a\sqrt{5}}{5}.\frac{2a\sqrt{5}}{15} = \frac{10a^2}{75} = \frac{10S}{75}

Área da superfície hachurada no original - Sh
Sh = A1 + A2 = 2.\frac{10S}{75} = \frac{20S}{75} = \frac{4S}{15}

Resposta: letra C

Última edição: fonseca71 (Seg 07 Nov, 2016 19:00). Total de 1 vez.



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