Pré-Vestibular

Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado abaixo em um sistema de coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB passando pelo ponto P = (a,0). O valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área é:

: birl.jpg (8.27 KiB) Exibido 15111 vezes

[tex3]a)\,\sqrt{5} - 1\\
b) \,5 - 2\sqrt{2}\\
c) \,5 - \sqrt{2}\\
d) \,2 + \sqrt{5}\\
e) \,5 + 2\sqrt{2}[/tex3]

Resposta

5 – 2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

guardiaN

Com objetivo de encontrarmos a área total do terreno ABCD: liguemos o ponto A ao C dividindo-o o terreno em áreas [tex3]S_I[/tex3] e [tex3]S_{II}[/tex3] .

: post.jpg (27.07 KiB) Exibido 15083 vezes

Para encontrar [tex3]S_I[/tex3] e [tex3]S_{II}[/tex3] , basta-nos encontrar as áreas dos triângulos ACD e ABC por determinantes:

[tex3]S_I=\frac{1}{2}\cdot \left \| \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 3 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \right \|=\frac{1}{2}\left \| (2+3-1) \right \|=2\hspace{8px}u.a.[/tex3]

[tex3]S_{II}=\frac{1}{2}\cdot \left \| \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 5 & 0 & 1\\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \right \|=\frac{1}{2}\left \| (15-3) \right \|=6\hspace{3px}u.a.[/tex3]

[tex3]S_{ABCD}=S_I+S_{II}=2+6=8u.a[/tex3]

Sabemos que a divisão perpendicular a AB é paralela ao eixo Y e deve dividir ABCDE em áreas iguais. Arbitrando uma divisão genérica na figura:

: post2.jpg (39.18 KiB) Exibido 15083 vezes

Observe que o triângulo PBE deverá ter a metade da área de ABCDE, entretanto, no ponto E não se sabe a coordenada y, mas com o intuito de encontrar alguma relação pra y naquele ponto, observemos que naquele ponto ocorre uma intersecção entre as retas que contém BC e EP.

A reta "r" que contém EP claramente é [tex3]\[x=a\][/tex3] (1);

Agora, para encontrarmos a reta "t" que contém BC, obteremos:

Seu coeficiente angular através dos pontos B e C já definidos:

[tex3]m_t=\frac{(y_b-y_c)}{(x_b-x_c)}=\frac{(0-3)}{(5-2)}=-1[/tex3]

Agora, na equação fundamental da reta, com um ponto genérico P(x,y), um ponto definido (Pode ser B ou C, escolherei C) e o coeficiente m=-1, chegamos à nossa equação:

[tex3]m_t=\frac{(y-y_o)}{(x-x_o)}\\-1=\frac{(y-3)}{(x-2)}\\\[y=5-x\][/tex3] (2)

Pondo (1) e (2) em um sistema e resolvendo-o, teremos:

[tex3]\left\{\begin{matrix}
y=5-x &\\
x=a &
\end{matrix}\right.[/tex3] ou seja, [tex3]y_e=y=5-a[/tex3] (ordenada em que não só se intersectam BC e PE mas que também é ordenada de [tex3]y_e[/tex3] )

Ora, tendo [tex3]y_e[/tex3] em função de "a" nossos problemas acabam e assim poderemos utilizar a relação entre a área e as coordenadas:

Como disse, o triângulo PBE deve possuir área igual à metade da área de ABCD:

[tex3]S_{pbe}=S_m=4[/tex3] então, por determinante:

[tex3]4=\frac{1}{2}\cdot \left \| \begin{bmatrix}
a & 0 &1\\
a &(5-a) &1 \\
5 & 0 & 1
\end{bmatrix} \right \|[/tex3]

[tex3]8=\left \| -a^2+10a-25 \right \|[/tex3] [Eq. Modular], partindo para as possíveis soluções:

[tex3]-a^2+10a-25=-8\\a^2-10a+17=0\\[/tex3] ou [tex3]-a^2+10a-25=8\\a^2-10a+33=0[/tex3]

Executando o discriminante (delta) em ambas, observamos que o delta da segunda é negativo([tex3]\Delta<0[/tex3] ), ou seja, não nos dará raízes reais (o que não nos interessa). Assim, eliminamos a segunda e ficamos apenas com a primeira.

[tex3]a^2-10a+17=0\\[/tex3] por Bhaskara, econtraremos as raízes

[tex3]a=\frac{10 \pm \sqrt{10^2-4\cdot 1\cdot 17}}{2\cdot 1}[/tex3]

[tex3]a_1=5 + 2\sqrt{2}[/tex3] e [tex3]a_2=5 - 2\sqrt{2}[/tex3]

Ora, mas qual raiz escolher?

Observe a condição de existência para "a" na figura, notarás que [tex3]1\leq a \leq 5[/tex3] . Contudo, eliminamos [tex3]a_1[/tex3] (que ultrapassará 5) e ficamos com [tex3]a_2[/tex3] .

Resposta: [tex3]a=5 - 2\sqrt{2}[/tex3] (B)

Espero ter ajudado,

See Ya!

Bem, decidi postar uma resposta alternativa, para o lado da geometria plana.

Observe o esquema [tex3]\rightarrow[/tex3]

: Screen Shot 2017-10-04 at 22.13.51.png (67.32 KiB) Exibido 13164 vezes

O [tex3]\Delta ACD[/tex3] é retângulo de catetos [tex3]AD \ = \ d(A,D)[/tex3] e [tex3]CD \ = \ d(C;D)[/tex3] .

[tex3]AD \ = \ d(A_{(1,0)},D_{(0,1)}) \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]AD \ = \ \sqrt{(1 \ - \ 0)^2 \ + \ (0 \ - \ 1)^2} \ \rightarrow \ \boxed{AD \ = \ \sqrt{2} \ |u|}[/tex3]

[tex3]CD \ = \ d(C_{(2,3)},D_{(0,1)}) \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]CD \ = \ \sqrt{(2 \ - \ 0)^2 \ + \ (3 \ - \ 1)^2} \ \rightarrow \ \boxed{CD \ = \ 2 \ \cdot \ \sqrt{2} \ |u|}[/tex3]

A área de [tex3]\Delta ACD[/tex3] é [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]A_{(\Delta ADC)} \ = \ \frac{AD \ \cdot CD}{2}[/tex3]

[tex3]A_{(\Delta ADC)} \ = \ \frac{\sqrt{2}\ \cdot \ \cancel{2} \ \cdot \ \sqrt{2}}{\cancel{2}}[/tex3]

[tex3]A_{(\Delta ADC)} \ = \ 2 \ |u^2|[/tex3]

Além disso, por Pitágoras ou por distância entre dois pontos, achamos [tex3]AC \ = \ \sqrt{(\sqrt{2})^2 \ + \ (2 \ \cdot \sqrt{2})^2} \
\rightarrow \ \boxed{AC \ = \ \sqrt{10} \ |u|}[/tex3]

Sendo [tex3]Q[/tex3] a projeção ortogonal de [tex3]C[/tex3] nas abcissas. É fácil de ver que, sem variação de [tex3]x[/tex3] , [tex3]d(C_{(2,3)},Q_{(2,0)}) \ = \ 3 \ |u|[/tex3] .

No [tex3]\Delta ABC[/tex3] , podemos considerar uma base [tex3]AB \ = \ d(B_{(5,0)},A_{(1,0)}) \ = \ 4[/tex3] e a sua altura relativa [tex3]= \ CQ \ = \ 3[/tex3] .

A área de [tex3]\Delta ABC[/tex3] é [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]A_{(\Delta ABC)} \ = \ \frac{AB \ \cdot CQ}{2}[/tex3]

[tex3]A_{(\Delta ABC)} \ = \ \frac{4\ \cdot 3}{2}[/tex3]

[tex3]A_{(\Delta ABC)} \ = \ 6 \ u^2[/tex3]

Então a área do quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] é [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]A_{(ABCD)} \ = \ A_{(\Delta ADC)} \ + \ A_{(\Delta ABC)}[/tex3]

[tex3]A_{(ABCD)} \ = \ 2 \ + \ 6[/tex3]

[tex3]\boxed{A_{(ABCD)} \ = \ 8 \ |u^2|}[/tex3]

Teremos que dividir [tex3]ABCD[/tex3] em [tex3]2[/tex3] áreas de [tex3]4 \ |u^2|[/tex3] cada.

Vamos calcular a área do [tex3]\Delta[/tex3] retângulo [tex3]ACQ[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]A_{(\Delta ABC)} \ = \ \frac{\cancelto{= \ d(C_{(1,0)},Q_{(2,0)}) \ = \ 1}{AQ} \ \cdot \cancelto{3}{CQ}}{2}[/tex3]

[tex3]A_{(\Delta ABC)} \ = \ \frac{3}{2} \ |u^2|[/tex3]

Somando essa área à área de [tex3]\Delta ACD[/tex3] , temos [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]2 \ + \ \frac{3}{2} \ = \ \frac{7}{2} \ |u^2|[/tex3] , mas vemos que ainda falta área para completar os [tex3]4 \ |u^2|[/tex3] . Ou seja, o [tex3]P[/tex3] está mais à direita de [tex3]Q[/tex3] .

Veja o trapézio de bases paralelas [tex3]CQPR[/tex3] (sendo [tex3]R[/tex3] a projeção de [tex3]P[/tex3] na reta [tex3]BC[/tex3] ).

Ele é o "complemento" para somar os [tex3]4 \ |u^2|[/tex3] de um lado e, consequentemente, do outro.

A área dele é a "complementar" que falta em [tex3]\Delta ACD[/tex3] e [tex3]\Delta ABC[/tex3] para somar os [tex3]4 \ |u^2|[/tex3] ... ou seja [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]A_{(CQPR)} \ = \ 4 \ - \ \underbrace{\frac{7}{2}}_{A_{(\Delta ABC)} \ + \ A_{(\Delta ACD)}} \ = \ \frac{1}{2} \ |u^2|[/tex3]

Temos, para esse trapézio, as medidas [tex3]\rightarrow[/tex3]

Base maior [tex3](B)[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]CQ \ = \ 3[/tex3] ;
Altura [tex3](H)[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]d(Q_{(2,0)},Q_{(a,0)}) \ = \ (a \ - \ 2)[/tex3]

A base menor [tex3](b)[/tex3] tem medida desconhecida, mas ela é [tex3]d(P_{(a,0)},R_{(a,h)}) \ = \ h[/tex3] .

Mas perceba que [tex3]h[/tex3] é justamente a altura relativa da base [tex3]PB \ = \ d(P_{(a,0)},B_{(5,0)})[/tex3] do [tex3]\Delta PBR[/tex3] , que tem área [tex3]= \ 4 \ |u^2|[/tex3] (é a outra "metade'" do terreno).

[tex3]4 \ = \ \frac{\underbrace{(5 \ - \ a)}_{PB} \ \cdot h}{2}[/tex3]

[tex3]h \ = \ \frac{8}{(5 \ - \ a)}[/tex3]

Agora sim, voltando ao [tex3]CPQR[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]\cancelto{\frac{1}{2}}{A_{(CPQR)}} \ = \ \frac{\( \cancelto{CQ \ = \ 3}{B} \ + \ \cancelto{h \ = \ \frac{8}{(5 \ - \ a)}}{b}\) \ \cdot \ \cancelto{(a \ - \ 2)}{H}}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{\cancel{2}} \ = \ \frac{\(3 \ + \frac{8}{(5 \ - \ a)}\) \ \cdot \ (a \ - \ 2) }{\cancel{2}}[/tex3]

[tex3]1 \ = \ \frac{\(3 \ \cdot (5 \ - \ a) \ + \ 8 \) \ \cdot \ (a \ - \ 2)}{(5 \ - \ a)}[/tex3]

[tex3]1 \ . \ (5 \ - \ a) \ = \ \(3 \ \cdot (5 \ - \ a) \ + \ 8 \) \ \cdot \ (a \ - \ 2)[/tex3]

[tex3](5 \ - \ a) \ = \ (15 \ - \ 3 \ \cdot \ a \ + \ 8) \ \cdot \ (a \ - \ 2)[/tex3]

[tex3](5 \ - \ a) \ = \ (23 \ - \ 3 \ \cdot \ a) \ \cdot \ (a \ - \ 2)[/tex3]

[tex3]5 \ - \ a \ = \ 23 \ \cdot \ a \ - \ 46 \ - \ 3 \ \cdot \ a^2 \ + \ 6 \ \cdot \ a[/tex3]

[tex3]0 \ = \ - \ 3 \ \cdot \ a^2 \ + \ 30 \cdot \ a \ - \ 51[/tex3] (simplificando)

[tex3]0 \ = \ - a^2 \ + \ 10 \cdot \ a \ - \ 17[/tex3]

Resolvendo essa equação de segundo grau, você chega em [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]\cancel{(a \ = \ 5 \ + \ 2 \cdot \sqrt{2})} \ \rightarrow[/tex3] Não vale ! [tex3](1 \ < \ a \ < \ 5 )[/tex3] ;

[tex3]\boxed{\boxed{a \ = \ 5 \ - \ 2 \cdot \sqrt{2}}} \ \rightarrow[/tex3] Vale !

Mensagem não lidapor **petras** » Qui 05 Out, 2017 00:32 · Mensagem não lida por **petras** » Qui 05 Out, 2017 00:32

Outra resolução(fonte:curso etapa)

Coeficientes angulares das retas:
AD = [tex3]\frac{1-0}{0-1}=-1[/tex3]
BC = [tex3]\frac{3-0}{2-5}=-1[/tex3]
CD = [tex3]\frac{3-1}{2-0}=1[/tex3]

Portanto AD//BC e [tex3]\perp[/tex3] a CD [tex3]\rightarrow [/tex3] Trapézio ABCD

BC = [tex3]\sqrt{(5-2)^2+(0-3)^2}=3\sqrt{2}[/tex3]
AD = [tex3]\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}[/tex3]
CD = [tex3]\sqrt{(2-0)^2+(3-1)^2}=2\sqrt{2}[/tex3]

Portanto Área do Trapézio = [tex3]\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2}.2\sqrt{2}=8[/tex3]

Área do [tex3]\Delta _{BCE}=\frac{3.3}{2}=4,5 \rightarrow a >2[/tex3]

[tex3]\Delta _{BPQ}[/tex3] é isósceles [tex3]\rightarrow S\Delta _{BPQ}=4=\frac{(5-a)^2}{2}[/tex3]

[tex3]\therefore \boxed{a =5-2\sqrt{2}} [/tex3]

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