Bem, decidi postar uma resposta alternativa, para o lado da geometria plana.
Observe o esquema [tex3]\rightarrow[/tex3]
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O [tex3]\Delta ACD[/tex3]
é retângulo de catetos [tex3]AD \ = \ d(A,D)[/tex3]
e [tex3]CD \ = \ d(C;D)[/tex3]
.
[tex3]AD \ = \ d(A_{(1,0)},D_{(0,1)}) \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]AD \ = \ \sqrt{(1 \ - \ 0)^2 \ + \ (0 \ - \ 1)^2} \ \rightarrow \ \boxed{AD \ = \ \sqrt{2} \ |u|}[/tex3]
[tex3]CD \ = \ d(C_{(2,3)},D_{(0,1)}) \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]CD \ = \ \sqrt{(2 \ - \ 0)^2 \ + \ (3 \ - \ 1)^2} \ \rightarrow \ \boxed{CD \ = \ 2 \ \cdot \ \sqrt{2} \ |u|}[/tex3]
A área de [tex3]\Delta ACD[/tex3]
é [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]A_{(\Delta ADC)} \ = \ \frac{AD \ \cdot CD}{2}[/tex3]
[tex3]A_{(\Delta ADC)} \ = \ \frac{\sqrt{2}\ \cdot \ \cancel{2} \ \cdot \ \sqrt{2}}{\cancel{2}}[/tex3]
[tex3]A_{(\Delta ADC)} \ = \ 2 \ |u^2|[/tex3]
Além disso, por Pitágoras ou por distância entre dois pontos, achamos [tex3]AC \ = \ \sqrt{(\sqrt{2})^2 \ + \ (2 \ \cdot \sqrt{2})^2} \
\rightarrow \ \boxed{AC \ = \ \sqrt{10} \ |u|}[/tex3]
Sendo [tex3]Q[/tex3]
a projeção ortogonal de [tex3]C[/tex3]
nas abcissas. É fácil de ver que, sem variação de [tex3]x[/tex3]
, [tex3]d(C_{(2,3)},Q_{(2,0)}) \ = \ 3 \ |u|[/tex3]
.
No [tex3]\Delta ABC[/tex3]
, podemos considerar uma base [tex3]AB \ = \ d(B_{(5,0)},A_{(1,0)}) \ = \ 4[/tex3]
e a sua altura relativa [tex3]= \ CQ \ = \ 3[/tex3]
.
A área de [tex3]\Delta ABC[/tex3]
é [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]A_{(\Delta ABC)} \ = \ \frac{AB \ \cdot CQ}{2}[/tex3]
[tex3]A_{(\Delta ABC)} \ = \ \frac{4\ \cdot 3}{2}[/tex3]
[tex3]A_{(\Delta ABC)} \ = \ 6 \ u^2[/tex3]
Então a área do quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3]
é [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]A_{(ABCD)} \ = \ A_{(\Delta ADC)} \ + \ A_{(\Delta ABC)}[/tex3]
[tex3]A_{(ABCD)} \ = \ 2 \ + \ 6[/tex3]
[tex3]\boxed{A_{(ABCD)} \ = \ 8 \ |u^2|}[/tex3]
Teremos que dividir [tex3]ABCD[/tex3]
em [tex3]2[/tex3]
áreas de [tex3]4 \ |u^2|[/tex3]
cada.
Vamos calcular a área do [tex3]\Delta[/tex3]
retângulo [tex3]ACQ[/tex3]
[tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]A_{(\Delta ABC)} \ = \ \frac{\cancelto{= \ d(C_{(1,0)},Q_{(2,0)}) \ = \ 1}{AQ} \ \cdot \cancelto{3}{CQ}}{2}[/tex3]
[tex3]A_{(\Delta ABC)} \ = \ \frac{3}{2} \ |u^2|[/tex3]
Somando essa área à área de [tex3]\Delta ACD[/tex3]
, temos [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]2 \ + \ \frac{3}{2} \ = \ \frac{7}{2} \ |u^2|[/tex3]
, mas vemos que ainda falta área para completar os [tex3]4 \ |u^2|[/tex3]
. Ou seja, o [tex3]P[/tex3]
está mais à direita de [tex3]Q[/tex3]
.
Veja o trapézio de bases paralelas [tex3]CQPR[/tex3]
(sendo [tex3]R[/tex3]
a projeção de [tex3]P[/tex3]
na reta [tex3]BC[/tex3]
).
Ele é o "complemento" para somar os [tex3]4 \ |u^2|[/tex3]
de um lado e, consequentemente, do outro.
A área dele é a "complementar" que falta em [tex3]\Delta ACD[/tex3]
e [tex3]\Delta ABC[/tex3]
para somar os [tex3]4 \ |u^2|[/tex3]
... ou seja [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]A_{(CQPR)} \ = \ 4 \ - \ \underbrace{\frac{7}{2}}_{A_{(\Delta ABC)} \ + \ A_{(\Delta ACD)}} \ = \ \frac{1}{2} \ |u^2|[/tex3]
Temos, para esse trapézio, as medidas [tex3]\rightarrow[/tex3]
Base maior [tex3](B)[/tex3]
[tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]CQ \ = \ 3[/tex3]
;
Altura [tex3](H)[/tex3]
[tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]d(Q_{(2,0)},Q_{(a,0)}) \ = \ (a \ - \ 2)[/tex3]
A base menor [tex3](b)[/tex3]
tem medida desconhecida, mas ela é [tex3]d(P_{(a,0)},R_{(a,h)}) \ = \ h[/tex3]
.
Mas perceba que [tex3]h[/tex3]
é justamente a altura relativa da base [tex3]PB \ = \ d(P_{(a,0)},B_{(5,0)})[/tex3]
do [tex3]\Delta PBR[/tex3]
, que tem área [tex3]= \ 4 \ |u^2|[/tex3]
(é a outra "metade'" do terreno).
[tex3]4 \ = \ \frac{\underbrace{(5 \ - \ a)}_{PB} \ \cdot h}{2}[/tex3]
[tex3]h \ = \ \frac{8}{(5 \ - \ a)}[/tex3]
Agora sim, voltando ao [tex3]CPQR[/tex3]
[tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]\cancelto{\frac{1}{2}}{A_{(CPQR)}} \ = \ \frac{\( \cancelto{CQ \ = \ 3}{B} \ + \ \cancelto{h \ = \ \frac{8}{(5 \ - \ a)}}{b}\) \ \cdot \ \cancelto{(a \ - \ 2)}{H}}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{\cancel{2}} \ = \ \frac{\(3 \ + \frac{8}{(5 \ - \ a)}\) \ \cdot \ (a \ - \ 2) }{\cancel{2}}[/tex3]
[tex3]1 \ = \ \frac{\(3 \ \cdot (5 \ - \ a) \ + \ 8 \) \ \cdot \ (a \ - \ 2)}{(5 \ - \ a)}[/tex3]
[tex3]1 \ . \ (5 \ - \ a) \ = \ \(3 \ \cdot (5 \ - \ a) \ + \ 8 \) \ \cdot \ (a \ - \ 2)[/tex3]
[tex3](5 \ - \ a) \ = \ (15 \ - \ 3 \ \cdot \ a \ + \ 8) \ \cdot \ (a \ - \ 2)[/tex3]
[tex3](5 \ - \ a) \ = \ (23 \ - \ 3 \ \cdot \ a) \ \cdot \ (a \ - \ 2)[/tex3]
[tex3]5 \ - \ a \ = \ 23 \ \cdot \ a \ - \ 46 \ - \ 3 \ \cdot \ a^2 \ + \ 6 \ \cdot \ a[/tex3]
[tex3]0 \ = \ - \ 3 \ \cdot \ a^2 \ + \ 30 \cdot \ a \ - \ 51[/tex3]
(simplificando)
[tex3]0 \ = \ - a^2 \ + \ 10 \cdot \ a \ - \ 17[/tex3]
Resolvendo essa equação de segundo grau, você chega em [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]\cancel{(a \ = \ 5 \ + \ 2 \cdot \sqrt{2})} \ \rightarrow[/tex3]
Não vale ! [tex3](1 \ < \ a \ < \ 5 )[/tex3]
;
[tex3]\boxed{\boxed{a \ = \ 5 \ - \ 2 \cdot \sqrt{2}}} \ \rightarrow[/tex3]
Vale !
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP