Pré-Vestibular

Seja f(x) = [tex3]\log_{3}[/tex3] (3x + 4) - [tex3]\log_{3}[/tex3] (2x - 1). Os valores de x, para os quais f está definida e satisfaz f(x) > 1, são:

Resposta

[tex3]\frac{1}{2}[/tex3] < x < [tex3]\frac{7}{3}[/tex3]

Condição de existência dos logaritmandos:

$\begin{cases} 3x+4>0\rightarrow x>-\frac{4}{3} \\ 2x-1>0\rightarrow x>\frac{1}{2} \end{cases}$

Seguindo:

$f(x) > 1$
$log_3(3x+4) - log_3(2x-1) > 1$
$log_3\left(\frac{3x+4}{2x-1}\right) > 1$
$\frac{3x+4}{2x-1} > 3^1$
$\frac{3x+4}{2x-1} > 3$
$\frac{3x+4}{2x-1}-3 >0$
$\frac{3x+4-6x+3}{2x-1} >0$
$\frac{-3x+7}{2x-1} >0$

São 2 casos:

Numerador e denominador positivos:

$\begin{cases} -3x+7>0 \rightarrow x < \frac{7}{3}\\ 2x-1>0\rightarrow x > \frac{1}{2} \end{cases}$

$\frac{1}{2}<x<\frac{7}{3}$

Numerador e denominador negativos:

$\begin{cases} -3x+7<0 \rightarrow x > \frac{7}{3}\\ 2x-1>0\rightarrow x < \frac{1}{2} \end{cases}$

Esse caso é impossível.

Então a resposta fica:

$\frac{1}{2}<x<\frac{7}{3}$

Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST-2003) Função Logarítima

(FUVEST-2003) Função Logarítima

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