Pré-Vestibular(PUC - RIO) Equação Trigonométrica

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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NataliaVilela
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Set 2016 14 15:39

(PUC - RIO) Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por NataliaVilela »

Para que valores de x vale [tex3][cos(x) + sen(x)]^{4}[/tex3] [tex3]- [cos(x) - sen(x)]^{4}[/tex3] [tex3]= 2[cos(x) + sen(x)]^{2} - [cos(x) - sen(x)]^2[/tex3] ]?
Resposta

A equação vale para todo x.
PS: Quais são a linha de raciocínio de vocês para resolver equações trigonométricas? Conseguem resolvê-las com facilidade ou..? Preciso de ajuda. :oops:

Última edição: NataliaVilela (Qua 14 Set, 2016 15:39). Total de 1 vez.



Auto Excluído (ID:16348)
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Set 2016 14 16:29

Re: (PUC - RIO) Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:16348) »

Oi,
Geralmente, você busca um padrão ou tenta tornar mais agradável a equação. No problema que você forneceu, creio que o correto é:
[tex3][cos(x) + sen(x)]^{4}- [cos(x) - sen(x)]^{4}= 2[(cos(x) + sen(x))^{2} - (cos(x) - sen(x))^2][/tex3]
Se você quer dá uma treinada com produtos notáveis, você encara esse monstro aí. Se você quer agilidade, você faz isso:
a = [tex3][cos(x) + sen(x)]^{2}[/tex3]
b = [tex3][cos(x) - sen(x)]^{2}[/tex3]
Justificável já que existe uma propriedade de Potenciação que permite fazer isso:
[tex3]a^{m\cdot n} = (a^{m})^n[/tex3] , onde a é diferente de zero.
Daí,
[tex3][cos(x) + sen(x)]^{4}- [cos(x) - sen(x)]^{4}= 2[(cos(x) + sen(x))^{2} - (cos(x) - sen(x))^2][/tex3]
a = [tex3][cos(x) + sen(x)]^{2}[/tex3]
b = [tex3][cos(x) - sen(x)]^{2}[/tex3]
[tex3]a^{2}- b^{2}= 2\cdot (a -b)[/tex3]
[tex3](a+b)(a-b) = 2\cdot (a - b)[/tex3]
[tex3]a+b = 2[/tex3]
Então:
[tex3][cos(x) + sen(x)]^{2} + [cos(x) - sen(x)]^{2}= 2[/tex3]
[tex3]cos^2(x) + sen^2(x) + cos^2(x) + sen^2(x) = 2[/tex3]
[tex3]2cos^2(x) + 2sen^2(x) = 2[/tex3]
[tex3]2\cdot [cos^2(x) + sen^2(x)]= 2[/tex3] , onde [tex3]cos^2(x) + sen^2(x)= 1[/tex3] para qualquer valor de x.

Até, Pedro.

Última edição: Auto Excluído (ID:16348) (Qua 14 Set, 2016 16:29). Total de 1 vez.



futuromilitar
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Set 2016 14 17:09

Re: (PUC - RIO) Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por futuromilitar »

a=[tex3][cos(x) + sen(x)]^{2}[/tex3]

b=[tex3][cos(x) - sen(x)]^{2}[/tex3]

[tex3]a^4-b^4=2a^2-b^2 \rightarrow[/tex3]

[tex3]a^2(a^2-2)-b^2(b+1)[/tex3] =0\rightarrow

[tex3]a^2=2[/tex3] [tex3]b^2=-1[/tex3]

[tex3]cos^2x+sen^2+2senx.cosx=-1[/tex3]
[tex3]-2.senx.cosx=-2[/tex3]
senx.cosx=1, para todo x\in \mathbb{R}
Última edição: futuromilitar (Qua 14 Set, 2016 17:09). Total de 1 vez.


''Se você perdeu dinheiro, perdeu pouco. Se perdeu a honra, perdeu muito. Se perdeu a coragem, perdeu tudo.'' (Van Gogh)

Auto Excluído (ID:16348)
6 - Doutor
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Set 2016 14 21:46

Re: (PUC - RIO) Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:16348) »

futuromilitar escreveu:senx.cosx=1, para todo x\in \mathbb{R}
Cuidado, futuromilitar. A condição de que sen(x).cos(x) = 1 é para todo x? Vale salientar que existem valores de x em que sen(x) = 0 ou cos(x) = 0.

Até, mano.

Última edição: Auto Excluído (ID:16348) (Qua 14 Set, 2016 21:46). Total de 1 vez.



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