Pré-Vestibular(PUC - RIO) Equação Trigonométrica

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NataliaVilela
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Set 2016 14 15:39

(PUC - RIO) Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por NataliaVilela » Qua 14 Set, 2016 15:39

Para que valores de x vale [cos(x) + sen(x)]^{4} - [cos(x) - sen(x)]^{4} = 2[cos(x) + sen(x)]^{2} - [cos(x) - sen(x)]^2]?
Resposta

A equação vale para todo x.
PS: Quais são a linha de raciocínio de vocês para resolver equações trigonométricas? Conseguem resolvê-las com facilidade ou..? Preciso de ajuda. :oops:

Última edição: NataliaVilela (Qua 14 Set, 2016 15:39). Total de 1 vez.



Auto Excluído (ID:16348)
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Set 2016 14 16:29

Re: (PUC - RIO) Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:16348) » Qua 14 Set, 2016 16:29

Oi,
Geralmente, você busca um padrão ou tenta tornar mais agradável a equação. No problema que você forneceu, creio que o correto é:
[cos(x) + sen(x)]^{4}- [cos(x) - sen(x)]^{4}= 2[(cos(x) + sen(x))^{2} - (cos(x) - sen(x))^2]
Se você quer dá uma treinada com produtos notáveis, você encara esse monstro aí. Se você quer agilidade, você faz isso:
a = [cos(x) + sen(x)]^{2}
b = [cos(x) - sen(x)]^{2}
Justificável já que existe uma propriedade de Potenciação que permite fazer isso:
a^{m\cdot n} = (a^{m})^n, onde a é diferente de zero.
Daí,
[cos(x) + sen(x)]^{4}- [cos(x) - sen(x)]^{4}= 2[(cos(x) + sen(x))^{2} - (cos(x) - sen(x))^2]
a = [cos(x) + sen(x)]^{2}
b = [cos(x) - sen(x)]^{2}
a^{2}- b^{2}= 2\cdot (a -b)
(a+b)(a-b) = 2\cdot (a - b)
a+b = 2
Então:
[cos(x) + sen(x)]^{2} + [cos(x) - sen(x)]^{2}= 2
cos^2(x) + sen^2(x) + cos^2(x) + sen^2(x) = 2
2cos^2(x) + 2sen^2(x) = 2
2\cdot [cos^2(x) + sen^2(x)]= 2, onde cos^2(x) + sen^2(x)= 1 para qualquer valor de x.

Até, Pedro.

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futuromilitar
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Set 2016 14 17:09

Re: (PUC - RIO) Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por futuromilitar » Qua 14 Set, 2016 17:09

a=[cos(x) + sen(x)]^{2}

b=[cos(x) - sen(x)]^{2}

a^4-b^4=2a^2-b^2\rightarrow

a^2(a^2-2)-b^2(b+1)=0\rightarrow

a^2=2 b^2=-1

cos^2x+sen^2+2senx.cosx=-1
-2.senx.cosx=-2
senx.cosx=1, para todo x\in \mathbb{R}
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Auto Excluído (ID:16348)
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Set 2016 14 21:46

Re: (PUC - RIO) Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:16348) » Qua 14 Set, 2016 21:46

futuromilitar escreveu:senx.cosx=1, para todo x\in \mathbb{R}
Cuidado, futuromilitar. A condição de que sen(x).cos(x) = 1 é para todo x? Vale salientar que existem valores de x em que sen(x) = 0 ou cos(x) = 0.

Até, mano.

Última edição: Auto Excluído (ID:16348) (Qua 14 Set, 2016 21:46). Total de 1 vez.



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