Pré-Vestibular(Fatec) Equação Trigonométrica

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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NataliaVilela
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Set 2016 13 13:48

(Fatec) Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por NataliaVilela »

O conjunto solução da equação [tex3]2cos^{2}x[/tex3] + cosx - 1 = 0, no universo U = [0,2 [tex3]\pi[/tex3] ], é:
Resposta

{[tex3]\pi[/tex3] /3, [tex3]\pi[/tex3] , 5 [tex3]\pi[/tex3] /3}

Editado pela última vez por NataliaVilela em 13 Set 2016, 13:48, em um total de 1 vez.
futuromilitar
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Set 2016 13 14:08

Re: (Fatec) Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por futuromilitar »

2.cos²x + cosx -1 = 0

2.cos²x + cosx = 1

2.cos²x = 1 - cosx

cos²x = ( 1 - cosx ) / 2

~~~~~~~~~~~~~~~~

Substituindo isso na relação fundamental:

sen² + cos² = 1

sen² + ( 1 - cosx ) / 2 = 1

2sen²/2 + ( 1 - cosx ) / 2 = 2/2

2.sen² + 1 - cosx = 2

Só que sen² = 1 - cos²

2 ( 1 - cos² ) + 1 - cosx = 2

2 - 2cos² + 1 - cosx = 2

-2cos² + 1 - cosx = 0

2cos² + cos - 1 = 0
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Fazendo Bhaskara:

Delta = b² - 4ac

Delta = 1 - 4.2.(-1)

Delta = 9

cos = ( -1 +- 3 ) / 4

cos 1 = 1/2
ou
cos 2 = -1

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Agora vamos para a circunferencia trigonométrica:

Primeiro para cos = -1

Para cos = -1, temos apenas o ângulo π

Agora para cos = 1/2

Temos: π/3 e 2π - π/3

Ou seja, π/3 e 5π/3

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

S = { π/3 , π , 5π/3 }

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csmarcelo
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Set 2016 13 14:11

Re: (Fatec) Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por csmarcelo »

\cos x = y

2y^2+y-1=0\Rightarrow\begin{cases}y_1=-1\\y_2=\frac{1}{2}\end{cases}

\cos x=-1\Rightarrow x=\pi
\cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow x\in\left\{\frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3}\right\}
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csmarcelo
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Re: (Fatec) Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por csmarcelo »

Substituindo isso na relação fundamental:

sen² + cos² = 1

sen² + ( 1 - cosx ) / 2 = 1

2sen²/2 + ( 1 - cosx ) / 2 = 2/2

2.sen² + 1 - cosx = 2

Só que sen² = 1 - cos²

2 ( 1 - cos² ) + 1 - cosx = 2

2 - 2cos² + 1 - cosx = 2

-2cos² + 1 - cosx = 0

2cos² + cos - 1 = 0
Amigo, repare que você voltou para a equação original. :wink:
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Auto Excluído (ID:16348)
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Set 2016 13 14:19

Re: (Fatec) Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:16348) »

Segue a resolução:
[tex3]2cos^{2}x + cosx-1=0[/tex3] , com [tex3]U = [0;2\pi][/tex3]
Chamando cos(x) = a:
[tex3]2a + a-1=0[/tex3]
Encontraremos que os valores de a são:
[tex3]a_1 = \frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]a_2 = -1[/tex3]
Então,
Para [tex3]a_1[/tex3] :
[tex3]cos(x) = \frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]x = cos^{-1}(\frac{1}{2})[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] x = [tex3]\frac{\pi}{3}[/tex3] ou x = [tex3]\frac{5\pi}{3}[/tex3]

Para [tex3]a_2[/tex3] :
[tex3]cos(x) = -1[/tex3]
[tex3]x = cos^{-1}(-1)[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] x = [tex3]{\pi}[/tex3]

Até, Pedro.
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:16348) em 13 Set 2016, 14:19, em um total de 1 vez.
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LucasPinafi
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Set 2016 13 14:34

Re: (Fatec) Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por LucasPinafi »

tbm não entendi pq ele deu essa volta

Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia
Responder
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