Pré-Vestibular ⇒ (Fatec) Equação Trigonométrica

[NataliaVilela]

O conjunto solução da equação [tex3]2cos^{2}x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2cos^{2}x[/tex3]

+ cosx - 1 = 0, no universo U = [0,2 [tex3]\pi[/tex3]

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[tex3]\pi[/tex3]

], é:

Resposta

---

{[tex3]\pi[/tex3]

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[tex3]\pi[/tex3]

/3, [tex3]\pi[/tex3]

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[tex3]\pi[/tex3]

, 5 [tex3]\pi[/tex3]

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[tex3]\pi[/tex3]

/3}

[futuromilitar]

2.cos²x + cosx -1 = 0

2.cos²x + cosx = 1

2.cos²x = 1 - cosx

cos²x = ( 1 - cosx ) / 2

~~~~~~~~~~~~~~~~

Substituindo isso na relação fundamental:

sen² + cos² = 1

sen² + ( 1 - cosx ) / 2 = 1

2sen²/2 + ( 1 - cosx ) / 2 = 2/2

2.sen² + 1 - cosx = 2

Só que sen² = 1 - cos²

2 ( 1 - cos² ) + 1 - cosx = 2

2 - 2cos² + 1 - cosx = 2

-2cos² + 1 - cosx = 0

2cos² + cos - 1 = 0
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Fazendo Bhaskara:

Delta = b² - 4ac

Delta = 1 - 4.2.(-1)

Delta = 9

cos = ( -1 +- 3 ) / 4

cos 1 = 1/2
ou
cos 2 = -1

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Agora vamos para a circunferencia trigonométrica:

Primeiro para cos = -1

Para cos = -1, temos apenas o ângulo π

Agora para cos = 1/2

Temos: π/3 e 2π - π/3

Ou seja, π/3 e 5π/3

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

S = { π/3 , π , 5π/3 }

[csmarcelo]

Código: Selecionar tudo

[tex3]\cos x = y[/tex3]

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[tex3]2y^2+y-1=0\Rightarrow\begin{cases}y_1=-1\\y_2=\frac{1}{2}\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudo

[tex3]\cos x=-1\Rightarrow x=\pi[/tex3]

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[tex3]\cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow x\in\left\{\frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3}\right\}[/tex3]

[csmarcelo]

Substituindo isso na relação fundamental:

sen² + cos² = 1

sen² + ( 1 - cosx ) / 2 = 1

2sen²/2 + ( 1 - cosx ) / 2 = 2/2

2.sen² + 1 - cosx = 2

Só que sen² = 1 - cos²

2 ( 1 - cos² ) + 1 - cosx = 2

2 - 2cos² + 1 - cosx = 2

-2cos² + 1 - cosx = 0

2cos² + cos - 1 = 0

Amigo, repare que você voltou para a equação original.

[Auto Excluído (ID:16348)]

Segue a resolução:
[tex3]2cos^{2}x + cosx-1=0[/tex3]

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[tex3]2cos^{2}x + cosx-1=0[/tex3]

, com [tex3]U = [0;2\pi][/tex3]

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[tex3]U = [0;2\pi][/tex3]

Chamando cos(x) = a:
[tex3]2a + a-1=0[/tex3]

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[tex3]2a + a-1=0[/tex3]

Encontraremos que os valores de a são:
[tex3]a_1 = \frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]a_1 = \frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]a_2 = -1[/tex3]

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[tex3]a_2 = -1[/tex3]

Então,
Para [tex3]a_1[/tex3]

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[tex3]a_1[/tex3]

:
[tex3]cos(x) = \frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]cos(x) = \frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]x = cos^{-1}(\frac{1}{2})[/tex3]

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[tex3]x = cos^{-1}(\frac{1}{2})[/tex3]

[tex3]\rightarrow[/tex3]

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[tex3]\rightarrow[/tex3]

x = [tex3]\frac{\pi}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi}{3}[/tex3]

ou x = [tex3]\frac{5\pi}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{5\pi}{3}[/tex3]

Para [tex3]a_2[/tex3]

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[tex3]a_2[/tex3]

:
[tex3]cos(x) = -1[/tex3]

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[tex3]cos(x) = -1[/tex3]

[tex3]x = cos^{-1}(-1)[/tex3]

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[tex3]x = cos^{-1}(-1)[/tex3]

[tex3]\rightarrow[/tex3]

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[tex3]\rightarrow[/tex3]

x = [tex3]{\pi}[/tex3]

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[tex3]{\pi}[/tex3]

Até, Pedro.

[LucasPinafi]

tbm não entendi pq ele deu essa volta