Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 2000) Probabilidade

[ruanchaves]

Um investidor quer aplicar 120 mil reais. Seu corretor lhe oferece um investimento, em duas fases, com as seguintes
regras:

Na 1ª fase do investimento, ocorrerá um dentre os dois eventos seguintes: com probabilidade p, o investidor ganha metade do que investiu; com probabilidade ( p - 1), o investidor perde um terço do que investiu.

Na 2ª fase do investimento, a quantia final da 1ª fase será reinvestida, de forma independente da 1ª fase. Neste novo investimento, ocorrerá um dentre os dois eventos seguintes: com probabilidade 1/2, o investidor ganha a quarta parte do que foi reinvestido; com probabilidade 1/2, o investidor perde metade do que foi reinvestido.

a)
Se o investidor aplicar seu dinheiro desta forma, com que valores pode ficar ao término do investimento? Qual a
probabilidade, em função de p, de ficar com cada um desses valores?

b)
Uma revista especializada informa que, neste investimento, a probabilidade de perder dinheiro é 70%. Admitindo como correta a informação da revista, calcule p.

Não tenho gabarito.

[joaopcarv]

No caso, acredito que a outra probabilidade é [tex3](1 \ - \ p)[/tex3]

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[tex3](1 \ - \ p)[/tex3]

(Teorema do Complementar)

[tex3]a)[/tex3]

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[tex3]a)[/tex3]

Usando uma "árvore de casos" [tex3]\rightarrow[/tex3]

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[tex3]\rightarrow[/tex3]

1º caso [tex3]\Rightarrow[/tex3]

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[tex3]\Rightarrow[/tex3]

O investidor ganha no 1º e no 2º investimentos :

Dinheiro total : [tex3]\underbrace{R$ \ 120 \ K}_{dinheiro \ investido} \ + \ \underbrace{R$ \ 120 \ K \ \cdot \ \frac{1}{2}}_{primeiro \ investimento} \ + \ \underbrace{(R$ \ 120 \ K \ + \ \frac{R$ \ 120 \ K}{2}) \ \cdot \ \frac{1}{4}}_{segundo \ investimento} \ = \ \boxed{\boxed{R$ \ 225 \ K}}[/tex3]

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[tex3]\underbrace{R$ \ 120 \ K}_{dinheiro \ investido} \ + \ \underbrace{R$ \ 120 \ K \ \cdot \ \frac{1}{2}}_{primeiro \ investimento} \ + \ \underbrace{(R$ \ 120 \ K \ + \ \frac{R$ \ 120 \ K}{2}) \ \cdot \ \frac{1}{4}}_{segundo \ investimento} \ = \ \boxed{\boxed{R$ \ 225 \ K}}[/tex3]

A probabilidade para isso é : [tex3]\underbrace{p}_{primeiro \ investimento} \ \cdot \ \underbrace{\frac{1}{2}}_{segundo \ investimento} \ = \boxed{\boxed{\frac{p}{2}}}[/tex3]

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[tex3]\underbrace{p}_{primeiro \ investimento} \ \cdot \ \underbrace{\frac{1}{2}}_{segundo \ investimento} \ = \boxed{\boxed{\frac{p}{2}}}[/tex3]

2º caso [tex3]\Rightarrow[/tex3]

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[tex3]\Rightarrow[/tex3]

O investidor perde no 1º e no 2º investimentos :

Dinheiro total : [tex3]\underbrace{R$ \ 120 \ K}_{dinheiro \ investido} \ - \ \underbrace{R$ \ 120 \ K \ \cdot \ \frac{1}{3}}_{primeiro \ investimento} \ - \ \underbrace{(R$ \ 120 \ K \ - \ \frac{R$ \ 120 \ K}{3}) \ \cdot \ \frac{1}{2}}_{segundo \ investimento} \ = \ \boxed{\boxed{R$ \ 40 \ K}}[/tex3]

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[tex3]\underbrace{R$ \ 120 \ K}_{dinheiro \ investido} \ - \ \underbrace{R$ \ 120 \ K \ \cdot \ \frac{1}{3}}_{primeiro \ investimento} \ - \ \underbrace{(R$ \ 120 \ K \ - \ \frac{R$ \ 120 \ K}{3}) \ \cdot \ \frac{1}{2}}_{segundo \ investimento} \ = \ \boxed{\boxed{R$ \ 40 \ K}}[/tex3]

A probabilidade para isso é : [tex3]\underbrace{(1 \ - \ p)}_{primeiro \ investimento} \ \cdot \ \underbrace{\frac{1}{2}}_{segundo \ investimento} \ = \boxed{\boxed{\frac{(1 \ - \ p)}{2}}}[/tex3]

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[tex3]\underbrace{(1 \ - \ p)}_{primeiro \ investimento} \ \cdot \ \underbrace{\frac{1}{2}}_{segundo \ investimento} \ = \boxed{\boxed{\frac{(1 \ - \ p)}{2}}}[/tex3]

3º caso [tex3]\Rightarrow[/tex3]

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[tex3]\Rightarrow[/tex3]

O investidor ganha no 1º e perde no 2º investimento :

Dinheiro total : [tex3]\underbrace{R$ \ 120 \ K}_{dinheiro \ investido} \ + \ \underbrace{R$ \ 120 \ K \ \cdot \ \frac{1}{2}}_{primeiro \ investimento} \ - \ \underbrace{(R$ \ 120 \ K \ + \ \frac{R$ \ 120 \ K}{2}) \ \cdot \ \frac{1}{2}}_{segundo \ investimento} \ = \ \boxed{\boxed{R$ \ 90 \ K}}[/tex3]

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[tex3]\underbrace{R$ \ 120 \ K}_{dinheiro \ investido} \ + \ \underbrace{R$ \ 120 \ K \ \cdot \ \frac{1}{2}}_{primeiro \ investimento} \ - \ \underbrace{(R$ \ 120 \ K \ + \ \frac{R$ \ 120 \ K}{2}) \ \cdot \ \frac{1}{2}}_{segundo \ investimento} \ = \ \boxed{\boxed{R$ \ 90 \ K}}[/tex3]

A probabilidade para isso é : [tex3]\underbrace{p}_{primeiro \ investimento} \ \cdot \ \underbrace{\frac{1}{2}}_{segundo \ investimento} \ = \boxed{\boxed{\frac{p}{2}}}[/tex3]

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[tex3]\underbrace{p}_{primeiro \ investimento} \ \cdot \ \underbrace{\frac{1}{2}}_{segundo \ investimento} \ = \boxed{\boxed{\frac{p}{2}}}[/tex3]

4º caso [tex3]\Rightarrow[/tex3]

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[tex3]\Rightarrow[/tex3]

O investidor perde no 1º e ganha no 2º investimento :

Dinheiro total : [tex3]\underbrace{R$ \ 120 \ K}_{dinheiro \ investido} \ - \ \underbrace{R$ \ 120 \ K \ \cdot \ \frac{1}{3}}_{primeiro \ investimento} \ + \ \underbrace{(R$ \ 120 \ K \ - \ \frac{R$ \ 120 \ K}{3}) \ \cdot \ \frac{1}{4}}_{segundo \ investimento} \ = \ \boxed{\boxed{R$ \ 100 \ K}}[/tex3]

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[tex3]\underbrace{R$ \ 120 \ K}_{dinheiro \ investido} \ - \ \underbrace{R$ \ 120 \ K \ \cdot \ \frac{1}{3}}_{primeiro \ investimento} \ + \ \underbrace{(R$ \ 120 \ K \ - \ \frac{R$ \ 120 \ K}{3}) \ \cdot \ \frac{1}{4}}_{segundo \ investimento} \ = \ \boxed{\boxed{R$ \ 100 \ K}}[/tex3]

A probabilidade para isso é : [tex3]\underbrace{(1 \ - \ p)}_{primeiro \ investimento} \ \cdot \ \underbrace{\frac{1}{2}}_{segundo \ investimento} \ = \boxed{\boxed{\frac{(1 \ - \ p)}{2}}}[/tex3]

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[tex3]\underbrace{(1 \ - \ p)}_{primeiro \ investimento} \ \cdot \ \underbrace{\frac{1}{2}}_{segundo \ investimento} \ = \boxed{\boxed{\frac{(1 \ - \ p)}{2}}}[/tex3]

[tex3]b)[/tex3]

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[tex3]b)[/tex3]

Casos em que o investidor perde dinheiro : [tex3]2,3,4[/tex3]

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[tex3]2,3,4[/tex3]

.

São casos independentes, cuja soma de probabilidades resulta em [tex3]70\%[/tex3]

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[tex3]70\%[/tex3]

.

Ok, então, temos [tex3]\rightarrow[/tex3]

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[tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]\underbrace{70\%}_{soma \ de \ probabilidades} \ = \ \underbrace{\frac{(1 \ - \ p)}{2}}_{segundo \ caso} \ + \ \underbrace{\frac{p}{2}}_{terceiro \ caso} \ + \ \underbrace{{\frac{(1 \ - \ p)}{2}}}_{quarto \ caso} \ \rightarrow[/tex3]

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[tex3]\underbrace{70\%}_{soma \ de \ probabilidades} \ = \ \underbrace{\frac{(1 \ - \ p)}{2}}_{segundo \ caso} \ + \ \underbrace{\frac{p}{2}}_{terceiro \ caso} \ + \ \underbrace{{\frac{(1 \ - \ p)}{2}}}_{quarto \ caso} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]70\% \ = \ \frac{1 \ \cancel{\ - p} \ \cancel{+ \ p} \ + 1 \ - \ p}{2} \ \rightarrow[/tex3]

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[tex3]70\% \ = \ \frac{1 \ \cancel{\ - p} \ \cancel{+ \ p} \ + 1 \ - \ p}{2} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]140\% \ = \ 2 \ - \ p \ \rightarrow[/tex3]

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[tex3]140\% \ = \ 2 \ - \ p \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]140\% \ = \ 200\% \ - \ p \ \rightarrow[/tex3]

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[tex3]140\% \ = \ 200\% \ - \ p \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]p \ = \ 200\% \ - \ 140\% \ = \ \boxed{\boxed{p \ = \ 60\%}}[/tex3]

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[tex3]p \ = \ 200\% \ - \ 140\% \ = \ \boxed{\boxed{p \ = \ 60\%}}[/tex3]