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Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, 10 garrafas de vinho de um lote constituído por 4 garrafas da Espanha, 5 garrafas da Itália e 6 garrafas da França, todas de diferentes marcas.

c) Qual é a probabilidade de que, escolhidas ao acaso, 10 garrafas do lote, haja exatamente 4 garrafas da Itália e, pelo menos, uma garrafa de cada um dos outros dois países?

temos no lote de vinhos:
4 garrafas da Espanha
5 garrafas da Itália
6 garrafas da França

dentre elas adquire-se 10 garrafas de vinhos, sendo que:
exatamente 4 garrafas da Itália
pelo menos 1 da Espanha
pelo menos 1 da França

com isso podemos compor os seguintes lotes de 10 garrafas de vinhos:
caso 1: 4 da Itália, 1 da Espanha e 5 da França
caso 2: 4 da Itália, 2 da Espanha e 4 da França
caso 3: 4 da Itália, 3 da Espanha e 3 da França
caso 4: 4 da itália, 4 da Espanha e 2 da França

então:
no caso 1, temos:

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[tex3]C_5^4 \cdot C_4^1 \cdot C_6^5 = 120[/tex3]

possibilidades
no caso 2, temos:

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[tex3]C_5^4 \cdot C_4^2 \cdot C_6^4 = 450[/tex3]

possibilidades
no caso 3, temos:

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[tex3]C_5^4 \cdot C_4^3 \cdot C_6^3 = 400[/tex3]

possibilidades
no caso 4, temos:

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[tex3]C_5^4 \cdot C_4^4 \cdot C_6^2 = 75[/tex3]

possibilidades

logo:
casos possíveis:

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[tex3]C_{15}^{10} = 3003[/tex3]

casos favoráveis:

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[tex3]120 + 450 + 400 + 75 = 1045[/tex3]

portanto:

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[tex3]P = \frac{1045}{3003} \approx 0,348 = 34,8\%[/tex3]