Pré-Vestibular(UEL) Sistema Linear Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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mmackenzie
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Ago 2016 13 12:01

(UEL) Sistema Linear

Mensagem não lida por mmackenzie »

O sistema de equações
prova.png
prova.png (1.69 KiB) Exibido 1877 vezes
é possível e determinado se, somente se:

A. k [tex3]\neq[/tex3] 0
B. k [tex3]\neq[/tex3] -1
C. k [tex3]\neq[/tex3] 1 e k [tex3]\neq[/tex3] -1
D. -1 [tex3]\leq k\leq 1[/tex3]
E. k [tex3]\neq[/tex3] 1

Alternativa correta E

Última edição: mmackenzie (Sáb 13 Ago, 2016 12:01). Total de 1 vez.



Auto Excluído (ID:16348)
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Ago 2016 14 12:40

Re: (UEL) Sistema Linear

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:16348) »

Olá,

A resolução será feita pelo método de Cramer:
1) Organização das matrizes e cálculo do determinante
A = [tex3]\begin{pmatrix}
1 & k \\
1 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Para a matriz A, o determinante é:
[tex3]\det(A) = 1 - k[/tex3]

X = [tex3]\begin{pmatrix}
k^2 & k \\
1 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Para a matriz X, o determinante é:
[tex3]\det(X) = k^2 - k[/tex3]

Y= [tex3]\begin{pmatrix}
1 & k^2 \\
1 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Para a matriz Y, o determinante é:
[tex3]\det(Y) = 1 - k^2[/tex3]

2) Aplicando o método de Cramer:
[tex3]X_n = \frac {\det(X_n)}{\det(X)}[/tex3] , onde n [tex3]\in N[/tex3] e refere-se as colunas da matriz.
Para X:
X = [tex3]\frac{k^2 - k}{1 - k}[/tex3]
Para Y:
Y = [tex3]\frac{1 - k^2}{1 - k}[/tex3]

3) Discussão dos resultados
a) Discutindo o denominador
Poderíamos, se conhecido bem o método de Cramer, efetuar o seguinte raciocínio e marcar a resposta:
[tex3]\det(A) = 1 - k[/tex3] , qual é o valor de k que zera o determinante?
[tex3]1 - k = 0[/tex3]
[tex3]k = 1[/tex3]
Qual a expressão utilizada na regra de Cramer?
[tex3]X_n = \frac {\det(X_n)}{\det(X)}[/tex3]
Se det(X), no nosso caso é det(A), for igual a zero, nós temos um absurdo. Se fizermos isso, nós estamos pegando um número qualquer e dividindo-o por zero.
b) Discutindo o numerador
Para X:
[tex3]\det(X) = k^2 - k[/tex3] , qual é o valor de k que zera o determinante?
[tex3]k^2 - k = 0[/tex3]
[tex3]k(k - 1) = 0[/tex3]
Pelo produto nulo:
k = 0 ou k = 1
Para Y:
[tex3]\det(Y) = 1 - k^2[/tex3] , qual é o valor de k que zera o determinante?
[tex3]1- k^2 = 0[/tex3]
[tex3]k^2 = 1[/tex3]
[tex3]k = \pm 1[/tex3]

4) Conclusões
O DENOMINADOR não pode ser igual a zero, se for teremos um sistema indeterminado ou impossível. Logo, se queremos um sistema POSSÍVEL e DETERMINADO:
[tex3]\det(A) = 1 - k[/tex3]
[tex3]1 - k \neq 0[/tex3]
[tex3]k \neq 1[/tex3]
Letra E
OBS: Não adiantaria falar que é isso ou aquilo e pular para a próxima questão sem entender o motivo. Vamos olhar qual é o efeito de k = 1 no sistema linear:
[tex3]\begin{cases}
X + kY=k^2 \\
X + Y =1
\end{cases}[/tex3]
Se k = 1, você terá:
[tex3]\begin{cases}
X + Y= 1 \\
X + Y =1
\end{cases}[/tex3]
Se for necessário isolar Y, você veria uma reta (equação do primeiro grau). Veja que as duas equações são iguais (duas retas sobrepostas) . Então, não importa qual valor dermos para X ou Y, sempre encontraremos um PONTO EM COMUM! Você não encontra uma solução, mas infinitas. Logo, teríamos um sistema possível e indeterminado (infinitas soluções).
Daí:
Se fosse um sistema possível e determinado, só teríamos um ponto em comum.
Se fosse um sistema impossível, não temos ponto em comum.

Até,
Pedro.

Última edição: Auto Excluído (ID:16348) (Dom 14 Ago, 2016 12:40). Total de 1 vez.



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