Pré-Vestibular

GagHawthorne

Considere o triângulo limitado pelas retas $y= x$ , $y=-x+2$ e $y =ax$ , com $a>1$ . O valor de $a$ , de forma que a área desse triângulo seja $\frac{\sqrt{2}}{2}$ é:

Resposta

$3+2\sqrt{2}$

$y = x$ e $y = -x+2$ são perpendiculares entre si, já que o produto dos seus coeficientes angulares é igual a -1.

Logo o triângulo é retângulo.

O ponto de intersecção é (1,1), logo a base do triângulo é $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$

Portanto a altura do triângulo, que é a distância do ponto (1,1) ao ponto (x,ax) deve ser igual a 1:

$\sqrt{(x-1)^2+(ax-1)^2} = 1$

Mas do ponto de intersecção:

$\begin{cases} y=-x+2 \\ y=ax \end{cases}$

$-x + 2 = ax \rightarrow x = \frac{2}{a+1}$

Substituindo:

$\sqrt{(x-1)^2+(ax-1)^2} = 1$
$\sqrt{( \frac{2}{a+1}-1)^2+( \frac{2a}{a+1}-1)^2} = 1$
$a = 3 + 2\sqrt{2}$

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