Outro tópico 'antigo' da Fuvest que eu respondo... mas esse não é outro de 2008
kkkk.
Bem... então :
Observe o anexo (já com algumas medidas inclusas).
- fuvestgeometrica.jpg (49.46 KiB) Exibido 2549 vezes
Seja [tex3]O[/tex3]
o centro do quadrado [tex3]ABCD[/tex3]
.
Primeiramente, há destacado o segmento azul [tex3]OM[/tex3]
. Como [tex3]M[/tex3]
é o ponto médio de [tex3]CD[/tex3]
e [tex3]O[/tex3]
é o centro, então [tex3]OM[/tex3]
é um
apótema do quadrado.
Para quadrados [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]OM = \ apótema\ = \ \frac{L}{2} \ \rightarrow \ L \ = \ 6 :[/tex3]
[tex3]OM \ = \ \frac{6}{2}[/tex3]
[tex3]OM \ = \ 3 \ cm[/tex3]
[tex3]CA[/tex3]
é uma diagonal de [tex3]ABCD \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]CA \ = \ diagonal \ = \ L \ . \ \sqrt{2} \ \rightarrow \ L \ = \ 6 :[/tex3]
[tex3]CA \ = \ 6 \ . \ \sqrt{2} \ cm[/tex3]
Como [tex3]O[/tex3]
é o centro do quadrado, ele "corta" as diagonais ao meio :
[tex3]CO \ = \ OA \ = \frac{AC}{2} \ \rightarrow \ CO \ = \ OA \ = \ 3 \ . \ \sqrt{2} \ cm[/tex3]
Por fim, como [tex3]A[/tex3]
é o ponto médio de [tex3]CP[/tex3]
, temos [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]CA \ = \ AP[/tex3]
e [tex3]CA \ + \ AP \ = \ CP[/tex3]
[tex3]AP \ = \ 6 \ . \ \sqrt{2} \ cm[/tex3]
[tex3]CP \ = \ 2 \ . \ AC[/tex3]
[tex3]AC \ = \ 12 \ . \ \sqrt{2} \ cm[/tex3]
Como, para um quadrado qualquer, apótema [tex3]\perp[/tex3]
a dois lados e apótema [tex3]\parallel[/tex3]
aos outros dois, o apótema azul [tex3]OM \ \perp \ AB, \ CD[/tex3]
e [tex3]OM \ \parallel \ AD, \ BC[/tex3]
.
Por isso, os triângulos [tex3]OMP[/tex3]
e [tex3]MAP[/tex3]
são semelhantes. Fazendo essa semelhança [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]\Delta OMP \ \sim \ \Delta MAP[/tex3]
:
[tex3]\frac{OM}{OP} \ = \ \frac{AN}{AP}[/tex3]
[tex3]OM \ = \ 3 \ cm, OP \ = \ (OA \ + \ AP) \ = \ (3 \ . \ \sqrt{2} \ + \ 6 \ . \ \sqrt{2}) \ = \ 9 \ . \ \sqrt{2} \ cm, \ AP \ = \ 6 \ . \ \sqrt{2}
\ cm :[/tex3]
[tex3]\frac{3}{9 \ . \ \sqrt{2}} \ = \ \frac{AN}{6 \ . \ \sqrt{2}}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{3} \ = \ \frac{AN}{6}[/tex3]
[tex3]AN \ = \ 2 \ cm[/tex3]
Perceba que [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]AN \ + \ ND \ = \ AD[/tex3]
[tex3]2 \ + \ ND \ = \ 6[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{ND \ = \ 4 \ cm}}[/tex3]
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP
