Pré-Vestibular

A reta s da figura abaixo tangencia a circunferência $\lambda$ no ponto $A$ de abscissa $2$ . A circunferência $\lambda$ tem raio igual a $4$ e centro na origem. Determine a equação da reta $s$ .

: circuferencia.png (3.97 KiB) Exibido 1234 vezes

a) $x + \sqrt{3}y - 4 = 0$
b) $x + y - 4 = 0$
c) $\sqrt{3}x - 8 = 0$
d) $x+\frac{y}{3} -8 =0$
e) $x + \sqrt{3}y -8=0$

Resposta

E

A circunferência tem equação: $x^2+y^2 = 16$

e possui um ponto (2,a), com a positivo pela imagem:
$x^2+y^2 = 16$
$2^2+a^2 = 16$
$a = 2\sqrt{3}$

Então a reta s passa pelo ponto $(2, 2\sqrt{3})$ e tem coeficiente angular dado por:

$2x+2y \cdot \frac{dx}{dy} = 0$
$\frac{dx}{dy} = \frac{-x}{y}$
$\frac{dx}{dy} = \frac{-2}{2\sqrt{3}}$
$\frac{dx}{dy} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

A equação da reta s fica:

$y - 2\sqrt{3} =-\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x-2)$
$x +y\sqrt{3}-8 = 0$

Você pode me mostrar como achou o coeficiente angular detalhadamdnte ?

Ele usou derivadas. Um método mais trabalhoso e, portanto, mais elementar é considerar a reta que sai da origem até o ponto A. Como sabemos, da geometria plana, essa reta deve ser perpendicular à reta que estamos procurando. Como dito, $A=(2, 2\sqrt 3)$ . Portanto, a equação dessa reta é $y= \sqrt 3 x$ . Segue que, o coeficiente angular da reta que estamos procurando é $m_1 \cdot \sqrt 3 = -1 \therefore m_1 = - \frac{ \sqrt 3} 3$ . Por fim, temos que $y-2\sqrt 3= -\frac{\sqrt 3}{3}(x-2) \therefore 3y - 6 \sqrt 3 = - \sqrt 3x + 2 \sqrt 3$ , e portanto $\sqrt 3 x + 3y -8 \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow x + \sqrt 3 y-8=0$ .

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