Pré-VestibularSolução alternativa-Problema 10 (V Maratona de Matemática)

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emanuel9393
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Jun 2016 14 21:10

Solução alternativa-Problema 10 (V Maratona de Matemática)

Mensagem não lida por emanuel9393 » Ter 14 Jun, 2016 21:10

Segue uma solução alternativa para esse problema:
01.png
01.png (44.65 KiB) Exibido 563 vezes
Pela semelhança entre \Delta DEC e \Delta CHE, vemos:
\dfrac{HC}{\dfrac{\sqrt S}{2}}= \dfrac{\sqrt S}{\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt S}{2}\right)^2 + \left(\sqrt S\right)^2}} \Rightarrow HC = \dfrac{\sqrt S}{\sqrt 5}
Da semelhança entre \Delta AIF e \Delta ADF, temos:
\dfrac{FI}{\dfrac{\sqrt S}{\sqrt 5}} = \dfrac{\dfrac{\sqrt S}{2}}{\sqrt S} \Rightarrow FI = \dfrac{\sqrt S}{2 \sqrt 5}
Precisamos também determinar o valor de IG. Para isso, observamos que se A\hat DF = \alpha, temos que D \hat FC = 2 \alpha (verifique). Logo, calculando a tangente desse ângulo:
\tan (D\hat FC) = \tan (2\alpha) = \dfrac{2\tan \alpha}{ 1 - \tan^2 \alpha } = \dfrac{2 \left(\dfrac{1}{2}\right)}{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^2} = \dfrac{4}{3}
Logo,
IG = FI \tan (2 \alpha ) = \dfrac{\sqrt S}{2 \sqrt 5} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{2\sqrt S}{3 \sqrt{5}}
Com o valor de todas essas medidas, podemos calcular o que se pede:
S_{DHGI} = S_{ABCD} - S_{DCH}-S_{CFB}-S_{DAF}-S_{FIG} = S - \dfrac{S}{5}-\dfrac{S}{2}-\dfrac{S}{30} \\ \Rightarrow \boxed{\boxed{S_{DHGI}= \dfrac{4S}{15}}}
Essa solução é mais trabalhosa do que a apresentada na maratona, mas postei aqui como um caminho alternativo.
Uma boa noite à todos!

Última edição: emanuel9393 (Ter 14 Jun, 2016 21:10). Total de 1 vez.


As modernas teorias científica afirmam que em dentro de 5 bilhões de anos, a humanidade presenciará a morte do sol. Imagine como seria presenciar esse evento...

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