Pré-Vestibular ⇒ (CEFET-PR) Números Complexos Tópico resolvido

[ALDRIN]

[tex3]\(\frac{2+\text{i}^2}{1-\text{i}}\)^{1004}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\(\frac{2+\text{i}^2}{1-\text{i}}\)^{1004}[/tex3]

é o mesmo que:

a) [tex3]1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1[/tex3]

b) [tex3]-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-1[/tex3]

c) [tex3]2^{-512}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{-512}[/tex3]

d) [tex3]-2^{-502}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-2^{-502}[/tex3]

e) [tex3]-2^{-1004}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-2^{-1004}[/tex3]

[Gauss]

Olá, Aldrin. Tentei resolver o exercício, porém não consegui chegar na resposta. Não sei onde errei. Deixarei postada minha tentativa. Certamente algum membro poderá lhe ajudar.

Código: Selecionar tudo

[tex3]\left(\frac{2+i^2}{1-i}\right)^{1004}=\left(\frac{1+i}{2}\right)^{1004}\\\\|z|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}\rightarrow |z|=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\\cos\ \theta =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\rightarrow cos\ \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}\\\\sen\ \theta =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\rightarrow sen\ \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}\\\\\therefore \ Arg(z)=\frac{\pi }{4}\\\\z^{1004}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{1004}.[cos\ \left(\frac{1004\pi }{4}\right)+i.sen\ \left(\frac{1004\pi }{4}\right)]\\\\z^{1004}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{1004}.[cos\ \pi +i.sen\ \pi ]\\\\z^{1004}=(-1).\left(\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2}\right)^{1004}\\\\z^{1004}=(-1).(2^{-\frac{1}{2}})^{1004}\\\\\boxed {z^{1004}=-2^{-502}}[/tex3]