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Mensagem não lidapor **Gauss** » Qua 20 Abr, 2016 12:02 · Mensagem não lida por **Gauss** » Qua 20 Abr, 2016 12:02

Quantas soluções a equação trigonométrica $sen\ x=\sqrt{1-cos\ x}$ admite, no intervalo $[0,80\pi )$ ?

$sen\ x=\sqrt{1-cos\ x}\\\\(sen\ x)^2=(\sqrt{1-cos\ x})^2\\\\cos^2x-cos\ x=0\\\\cos\ x=0\ ou\ cos\ x=1$

Tenho uma dúvida com relação ao intervalo dado e as soluções.

1°) A menor determinação positiva de $80\pi$ é zero. Então, do intervalo, temos fechado em 0 e aberto em 0 o que resulta em fechado em 0, correto?

2°) Para $cos\ x=0$ temos duas soluções na primeira volta, $\frac{\pi }{2}$ e $\frac{3\pi }{2}$ . Como são 40 voltas:

$N=40.2\rightarrow N=80$ soluções.

No caso as soluções $cos\ x=1$ não entraram devido ao intervalo ou estou fazendo algo errado?

Resposta

80 soluções.

Mensagem não lidapor **Gauss** » Qua 20 Abr, 2016 22:56 · Mensagem não lida por **Gauss** » Qua 20 Abr, 2016 22:56

Veja, quando elevamos a equação ao quadrado, a nova equação terá raízes que a primeira não necessariamente tinha.
De fato, para a equação $\cos^2(x)-\cos(x)=0$ , as soluções são as que você encontrou, mas precisamos ver se todas elas também são soluções de $\text{sen}(x)=\sqrt{1-\cos(x)}$
Para $\cos(x)=0$ , temos $x=\frac{\pi}{2}$ ou $x=\frac{3\pi}{2}$ . Colocando o primeiro valor na equação inicial:
$\text{sen}\left( \frac{\pi}{2} \right)= \sqrt{ 1-\cos\left( \frac{\pi}{2}\right) } \rightarrow 1=\sqrt{1-0} \rightarrow 1=1$
Ok, é solução. Testando a outra solução:
$\text{sen}\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\sqrt{1-\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)} \rightarrow -1=1$
Isso já não é solução da equação inicial, viu?
Para $\cos(x)=1 \rightarrow x=2k\pi$
Verificando:
$\text{sen}(2k\pi)=\sqrt{1-\cos(2k\pi)} \rightarrow 0=0$
Então é solução.
Agora a ideia é a mesma que você fez, multiplicar pelas 40 voltas. O seu erro foi em achar que as duas soluções encontradas para o caso $\cos(x)=0$ eram soluções da equação inicial, quando apenas uma era. Assim você encontrou o 80 "logo de cara" sem ter analisado a outra solução encontrada.

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