Pré-Vestibular

O lugar geométrico dos pontos equidistantes da reta [tex3]\text{y} = 0[/tex3] e da circunferência [tex3]\text{x}^2 + (\text{y}-2)^2 = 1[/tex3] é:

a) uma reta
b) uma semireta
c) uma circunferência
d) uma elipse
e) uma parábola

Resposta

Resp: "e"

Considere a figura:

: geometria analítica_1.jpg (12.97 KiB) Exibido 1942 vezes

A circunferência $x^2+(y-)^2=1$ tem coordenada de centro (0,2) e raio igual a 1.
Temos um ponto P genérico de coordenadas (x, y).
A reta $y=0$ é o eixo da abscissas.

Queremos que $d_2=d_1 \,\,\,\,\,\, (I)$
$d_1=y$
$d_2=\overline{PA}-1 \,\,\,\,\,\, (II)$

O $\Delta ACP$ é retângulo, então, aplicando o Teorema de Pitágoras:
$\left(\overline{PA}\right)^2=\left(\overline{CP}\right)^2+\left(\overline{CA}\right)^2$
$\left(\overline{PA}\right)^2=x^2+(2-y)^2$
$\overline{PA}=\sqrt{x^2+(2-y)^2}$

Substituindo esse resultado em II:
$d_2=\sqrt{x^2+(2-y)^2}-1$

Voltando à equação I:
$\left|\sqrt{x^2+(2-y)^2}-1\right|=|y|$
$\sqrt{x^2+(2-y)^2}=y+1 \,\,\,\,\,\, (III)$
ou
$\sqrt{x^2+(2-y)^2}=1-y \,\,\,\,\,\, (IV)$

Resolvendo a equação III:
$\sqrt{x^2+(2-y)^2}=y+1$
$x^2+(2-y)^2=\left(y+1\right)^2$
$x^2+4-4y+y^2=y^2+2y+1$
$-6y=-x^2-3$
$y=\frac{x^2}{6}+\frac{1}{2}$ , essa equação representa uma parábola.

Resolvendo a equação IV:
$\sqrt{x^2+(2-y)^2}=1-y$
$x^2+(2-y)^2=\left(1-y\right)^2$
$x^2+4-4y+y^2=1-2y+y^2$
$-2y=-x^2-3$
$y=\frac{x^2}{2}+\frac{3}{2}$ , essa equação também representa uma parábola.

Logo a opção correta é $\boxed{\boxed{E}}$ .

Espero ter ajudado!

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